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课件网) 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第3课时 空间距离与线面垂直的综合问题 探究点一 线面距离与面面距离 探究点二 线面垂直的综合应用 【学习目标】 1.能够解决简单的线面距离和面面距离问题. 2.进一步能熟练运用线面垂直的判定和性质定理证明一些与垂直 有关的问题. 知识点 线面距离和面面距离 1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上_____到这个平面的 距离，叫作这条直线到这个平面的距离. 2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的_____到另一个平 面的距离都相等，我们把它叫作这两个平行平面间的距离. 任意一点 任意一点 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）棱柱、棱台的上、下底面间的距离就是它们的高.( ) √ （2）若 ，为平面 内任意一条直线，则直线到平面 的距 离等于这两个平行平面间的距离.( ) √ （3）若 ， ， ，则线段 的长度就是这两个平行 平面间的距离.( ) × [解析] 只有当 ， 时，线段 的长度才是这两个平 行平面间的距离. 2.如何求直线到平面的距离和两个平行平面间的距离？ 解：根据定义，可将直线到平面的距离转化为直线上一个点到平面 的距离. 两个平行平面间的距离可先转化为直线到平面的距离，再转化为直线 上一个点到平面的距离，也可直接转化为平面上一个点到平面的距离. 探究点一 线面距离与面面距离 例1 在长方体中，,， . （1）求点到平面 的距离； 解：如图.点到平面的距离为 . （2）求直线到平面 的距离； 解：如图. 平面， 平面， 到平面 的距离为 . （3）求平面与平面 之间的距离. 解：如图. 平面平面， 平面， 平面， 平面与平面之间的距离为 . 变式（1） 如图，在四面体中，， ， 两两垂直，已知， ，则点 到平面 的距离为( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题意得,, ， 在 中，由余弦定理得 ，所以 ， 所以. 设点 到平面的距离为，由 ， 得，解得 ， 即点到平面的距离为 .故选D. （2）如图所示，在长方体中， ， ，，分别过和的两个平行平面（平面 和平面，其中，分别在，，， 上）将 长方体分为体积相等的三部分，求这两个平行平面之间的距离. 解：长方体夹在两个平行平面之间的部 分是一个棱柱，它以四边形 为底 面， 为高. 根据题意得 ， 即， . 作，为垂足， 平面， 平面 ， . 又， 平面 ，即 的长度是所求两个平行平 面之间的距离. 在 中， ， 即这两个平行平面之间的距离为 . ［素养小结］ 1.利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直 线或平面上的一点到平面的距离. 2.利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离 借助中点（等分点）转化为另一点到平面的距离. 3.通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面 扩展（分割），以方便求底面积和高. 探究点二 线面垂直的综合应用 例2 如图，矩形是圆柱 的一个轴截面， 点在圆上（异于，），为 的中点. （1）证明： 平面 ； 证明：因为 平面， 平面 ， 所以 . 因为为圆的直径，所以 . 又， 平面， 平面 ， 所以 平面 . （2）当直线与平面所成的角为 时，证明： 平面 . 证明： 因为 平面， 平面 ， 所以， 易知即为直线与平面 所成的角， 所以 ， 所以为等腰直角三角形， . 因为为的中点，所以 . 由（1）知， 平面，又 平面 ， 所以 . 又， 平面， 平面 ， 所以 平面 . 变式 如图，在三棱柱中， 平面，底面三角形 是边长为2的等边三角 形，为 的中点. （1）求证：平面 ； 证明：连接交于点，连接 . ，分别为，的中点， . 又 平面， 平面 ， 平面 . （2）若直线与平面所成的角为 ，求三 棱锥 的体积. 解：在等边三角形中， ， 平面， 平面， ， 又，， 平 ... ...
