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课件网) 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.3 平面与平面垂直 第2课时 平面与平面垂直的性质 探究点一 面面垂直的性质定理的应用 探究点二 线线、线面、面面垂直的综合 应用 【学习目标】 1.通过直观感知、操作确认,能够归纳出平面与平面垂直的性质 定理,并能够证明. 2.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题. 知识点 平面与平面垂直的性质定理 1.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法 两个平面垂直，如果一 个平面内有一直线垂直 于这两个平面的交线， 那么这条直线与另一个 平面_____ _____ _____ 面面垂直 线面垂直 垂直 2.面面垂直的性质定理的作用: （1）判定直线与平面垂直; （2）由平面外一点作平面的垂线时，确定垂足的位置. 【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1）若两个平面垂直，则两个平面内任意两条直线互相垂直.( ) × [解析] 满足条件的这两条直线不一定垂直，如图所示，平 面 平面 ， ， ，， 不垂直. （2）若平面 平面 ，，，则 .( ) × [解析] 因为直线不一定在平面 内，所以直线不一定垂直于平面 . 2.黑板所在平面与地面所在平面垂直，如何在黑板上画一条直线与地 面垂直？ 解：记黑板所在平面与地面所在平面的交线为 ，则由面面垂直的性 质定理知，只要在黑板上画出一条与交线 垂直的直线，则所画直线 必与地面垂直. 探究点一 面面垂直的性质定理的应用 例1 如图，在三棱锥中， 为正三角 形，，平面 平面.求证： 平面 . 证明：取的中点，连接,， 为 正三角形， 平面 平面 ，平面 平面， 平面， 平面 平面，. 又， ， 平面， 平面， 平面 . 变式 如图所示，四边形是矩形，，为 的中点， 以为折痕将折起，使到达的位置，且平面 平面 ，得到四棱锥 . （1）求证: ; 证明: 四边形是矩形，，为 的中点， ， 都是等腰直角三角形， ， ，即 平面 平面，平面 平面， 平面， 平面， . （2）求二面角 的余弦值. 解：由（1）知是等腰直角三角形， . 平面，，， 是二面角 的平面角， 二面角的余弦值为 . ［素养小结］ 当利用面面垂直的性质定理证明线面垂直问题时，要注意以下三点: ①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于两 平面的交线. 探究点二 线线、线面、面面垂直的综合应用 例2 如图，在直三棱柱中， ， ，分别为，的中点，且 . （1）证明： 平面 . 证明：在中，因为， ， 所以 为正三角形. 因为为的中点，所以 . 因为 平面， 平面 ， 所以 . 因为，， 平面 ， 所以 平面 . （2）证明：平面 平面 . 证明： 取的中点，连接， ，如图. 因为，分别为，的中点， 所以且 . 又且 ， 所以且 ， 所以四边形为平行四边形，所以 . 由（1）知 平面，所以 平面 ， 又 平面，所以平面 平面 . 变式 如图①，在等腰梯形中，，， ， ，，分别为腰，的中点，，分别为， 的中 点.将四边形沿折起，使平面 平面 ，如图②. （1）求证： 平面 ； 证明： 四边形是等腰梯形，为的中点，为 的 中点， 平面 平面，平面 平面， 平面， 平面 ． （2）请在图②所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面 垂直，并给出证明. 解：在图②中，，这两个点所在直线与 平面 垂直．证明如下： 连接，，由（1）知 平面， 平面， . ，且， 四边形 是菱形， . ， 平面，， 这两点所在直线与平面 垂直. ［素养小结］ 在证明两平面垂直时，一般从其中一个平面内寻找另一个平面的垂线， 若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决.在已知两平面垂 直用性质定理解题时，一般从其中一个平面内寻找与交线垂直的直线， 如果这样的直线在图中不存在，也需通过作辅助线来解决. 拓展 正四棱锥的底 ... ...
