2.3 一元二次不等式 导学案（3课时）（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学必修第一册

2.3.1　课时1　一元二次不等式及其解法(一) 【学习目标】 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象) 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算) 【自主预习】 1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗 2.在一元二次不等式的一般形式中，“a≠0”可以省略吗 3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零，如何求解 x的取值范围 4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>0，则一元二次不等式ax2+1>0无解.(　 　) (2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2(x10的解集为R.(　 　) 2.(多选题)下列关于x的不等式中，一定为一元二次不等式的是(　 　). A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0 C.ax2+4x-7>0 D.x2<0 3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为　　　　　　　　. 4.不等式x2<2的解集是　　　　　　　　. 【合作探究】 探究1　一元二次不等式 观察下列不等式： (1)x2>0；(2)-x2-2x≤0；(3)x2-5x+6>0. 问题1：它们含有几个未知数 未知数的最高次数是多少 问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点 1.一元二次不等式 把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2.解一元二次不等式的步骤 (1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根； (2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象； (3)由图象得出不等式的解集. 设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，一元二次方程 ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac 判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0 解不等式 y>0或 y<0 的步骤 求方程y=0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x10)的图象 得不等式的解 集 y>0 {x|xx2} xx∈R且 x≠- R y<0 {x|x10； (2)-3x2+6x-2>0； (3)4x2-4x+1≤0； (4)x2-2x+2>0. 【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的实数根，或根据判别式说明方程没有实数根；(4)根据函数图象与x轴的位置关系写出不等式的解集. 解下列不等式： (1)2x2-x+6>0； (2)x2-6x+9≤0； (3)x(7-x)>0. 二、含参数的一元二次不等式的解法 例2　解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 【方法总结】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数分大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应的一元二次方程的根需要用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a<0). 探究2　三个“二次”的关系 例3　若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 【方法总结】1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象，在x轴上方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c>0；在x轴下方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c<0. 已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0. 【随堂检测】 1.不等式3x2-2x+1>0的解集为(　 　). A.x-1