2.1 直线的斜率 导学案（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.1　直线的斜率 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象、直观想象) 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.(逻辑推理) 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.(数学运算) 【自主预习】 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线.那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，可见，答案是否定的. 1.a，b，c…这些直线有什么联系呢 它们的倾斜程度相同吗 2.下图中标的倾斜角α对不对 3.刻画直线倾斜程度的量，除了倾斜角，还有其他的吗 坡度是斜率吗 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意一条直线都有倾斜角，都存在斜率. (　　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　　) (3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k=tan α. (　　) (4)直线斜率的取值范围是(-∞，+∞). (　　) 2.若直线l经过原点和点(-1，1)，则它的倾斜角是(　　). A.45° B.135° C.45°或135° D.-45° 3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　). A. B. C.1 D. 4.已知坐标平面内，△ABC的三个顶点分别是A(-1，1)，B(1，1)，C(1，-1)，求直线AB，BC，AC的斜率. 【合作探究】 探究1　直线的倾斜角 小明在无聊的时候拿起一支笔，哗啦啦地转起来，他的同桌也学了起来，但手指头总是不够协调，水笔在手上还没转足半圈，就没了惯性，“啪嗒”一声掉在桌子上. 问题1：若把上图中笔的转动看成一条直线绕着一个点P转动，把点P放在坐标系内，直线在旋转的过程中，相对x轴的位置有几种情形 问题2：直线的倾斜角能不能是0° 能否大于平角 问题3：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗 倾斜角的概念 (1)倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角. (2)倾斜角的范围 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α=0. 直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<π. 特别提醒：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等. 例1　 设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，将l绕坐标原点O逆时针旋转45°，得到直线l1，则(　　). A.l1的倾斜角为α+45° B.l1的倾斜角为α-135° C.l1的倾斜角为135°-α D.当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为α-135° 【方法总结】求直线的倾斜角的方法及注意事项 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角. (2)注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　). A.α B.180°-α C.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α 如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　　　　. 探究2　直线的斜率 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. 问题1：已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系 问题2：类似地，如果直线l经过点P1(-1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系 问题3：直线l的倾斜角α与点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)有什么内在联系 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角αα≠的正切值k称为这条直线的　　　　，即k=tan α. 2.斜率公式 如果直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，那么该直线的斜率公式为k=. 3.(1)倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率. (2)直线的倾斜角与斜率的关 ... ...