2.4 点到直线的距离 导学案（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

2.4　点到直线的距离 【学习目标】 1.领会两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算) 2.能灵活运用两点间的距离公式、点到直线的距离公式解决相关问题.(直观想象、数学运算) 3.初步学会使用解析法研究几何问题.(直观想象、数学运算) 【自主预习】 1.已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2两点间的距离|P1P2| 2.如何用代数法求点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离 3.能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离 如果能，如何转化 4.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求 5.如何求两条平行直线间的距离 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程是一样的. (　　) (2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|. (　　) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. (　　) (4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. (　　) 2.已知点A(-2，-1)，B(a，3)，且|AB|=5，则a的值为(　　). A.1 B.-5 C.1或-5 D.-1或5 3.已知直线l1：x+y+1=0，l2：x+y-1=0，则l1与l2之间的距离为(　　). A.1 B. C. D.2 4.若第二象限内的点P(m，1)到直线x+y+1=0的距离为，则m的值为　　　　. 【合作探究】 探究1　两点间的距离公式 问题1：如果点A，B在x轴上，那么怎样求|AB| 问题2：如果点A，B在y轴上，那么怎样求|AB| 问题3：如果点A，B不在坐标轴上，那么如何求|AB| 两点间的距离公式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|=. (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|=|x2-x1|. 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|=|y2-y1|. 当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|=或|P1P2|=. 一、两点间的距离公式 例1　(1)已知点A(-3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值. (2)已知点M(x，-4)与点N(2，3)间的距离为7，求实数x的值. 【方法总结】若已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求这两点间的距离，可直接运用两点间的距离公式|P1P2|=求解.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题. 在直线2x-3y+5=0上求点P，使点P到A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　). A.(5，5) B.(-1，1) C.(5，5)或(-1，1) D.(5，5)或(1，-1) 二、坐标法的应用 例2　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|=|BC|. 【方法总结】用解析法证明几何结论的注意事项： (1)用解析法证明几何结论时，首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标； (2)根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标； (3)在证明过程中要不失一般性. 在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2=|AD|2+ |BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形. 探究2　点到直线的距离公式 问题：如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P0(x0，y0)，怎样求出点P0到直线l的距离呢 点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=. 点到几种特殊直线的距离： (1)点P(x0，y0)到x轴的距离d=|y0|； (2)点P(x0，y0)到y轴的距离d=|x0|； (3)点P(x0，y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|； (4)点P(x0，y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|. 例3　求点P(3，-2)到下列直线的距离. (1)y=x+；(2)y=6；(3)x=4. 【方法总结】点到直线的距离的求解方法： (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后套用点到直线的距离公式； (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意 ... ...