第2章 章末小结 导学案（含答案） 2025-2026学年湘教版（2019）高中数学选择性必修第一册

第2章章末小结 【知识导图】 【题型突破】 直线的倾斜角与斜率 例1　已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是　　　　. 　求直线的倾斜角与斜率的注意点： (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正方向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围. (2)当直线的倾斜角α∈0，时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈，π时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大. 直线方程及其应用 例2　已知△ABC的顶点A(1，2)，B(-3，2)，直线BC的斜率为. (1)求过点A，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (2)求角B的平分线所在直线的方程. 　求直线方程的两种方法： (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论. (2)待定系数法：设含有参数的直线方程，由条件求出参数，最后代入直线方程. 两条直线的位置关系 例3　设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y-1=0，l2：x+(m-2)y+1=0. (1)若l1与l2垂直，求m的值. (2)若l1与l2平行，求m的值. 　两条直线的位置关系的判断方法及注意点：(1)判断方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直，通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况. 距离问题 例4　(1)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程. (2)直线l1过点A(0，1)，直线l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程. 　1.距离问题的解决方法：牢记各种距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合. 2.三种距离的计算公式 圆的方程 例5　(1)(2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0 上，点(3，0)和(0，1)均在☉M 上，则☉M 的方程为　　　　. (2)(2022年全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2) 中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　. 　求圆的方程的方法：先设出圆的标准方程或一般方程，然后利用待定系数法解题. 直线与圆的位置关系 例6　(1)(多选题)(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l：ax+by-r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　). A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 (2)(2023年新高考全国Ⅰ卷)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α=(　　). A.1 B. C. D. 　直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断点、直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程. 弦长问题 例7　(1)(多选题)(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　). A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|=3 D.当∠PBA最大时，|PB|=3 (2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l：x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，则满足“△ABC的面积为”的m的一个值是　　　　. 　直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距d，圆的半径r及半弦长构成的直角三角形. 圆与圆的位置关系 例8　已知圆C1：x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2：x2+y2-8x+4y+7=0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程. 　判断两圆位置关系的两种比较方法 (1)几何法是利用两圆半径的和或差的绝对 ... ...