(
课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 第1课时 函数的单调性与导数 探究点一 利用导数判断函数的单调性 探究点二 利用函数单调性解决函数与导函数图 象问题 【学习目标】 了解导数对函数单调性的影响，利用导数求函数的单调区间（其中多项式 函数一般不超过三次）. 知识点一 函数的单调性与导函数的关系 1.在区间内函数的单调性与导函数 的正负之间的关系如下表所示： 的正负 的单调性 单调递____ 单调递____ 增 减 如：函数在上单调递增， ,在 上单调递减， ，如图所示. 2.对于可导函数来说,“”是“ 在某个区间上单调递增”的 _____条件,“”是“ 在某个区间上单调递减”的_____ 条件. 充分不必要 充分不必要 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在某个区间内，如果，那么函数 在这个区间内单 调递增.( ) √ （2）在某个区间内，如果，那么函数 在这个区间内单 调递减.( ) √ （3）函数的单调递增区间为 .( ) × [解析] 由，得， 令 ，得或，所以函数的单调递增区间为, . （4）“对任意,都有”是“在 内单调递增”的充要条 件.( ) × [解析] 当在内单调递增时，导数不一定恒大于0. 例如: 在内单调递增,但 . 知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 第1步，确定函数 的_____; 第2步，求出导数 的_____; 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个_____，列表给出 在 各区间上的_____，由此得出函数 在定义域内的_____. 定义域 零点 区间 正负 单调性 探究点一 利用导数判断函数的单调性 例1 利用导数判断下列函数的单调性: （1） ; 解：因为,所以函数的定义域为 , 在上恒成立，所以函数在 上单调递增. （2） ； 解：因为，所以 . 令，得或； 令，得. 所以 在和上单调递增，在 上单调递减. （3） ; 解：因为,所以函数的定义域为 , . 由,可得;由,可得 或. 综上可知，函数在上单调递增，在, 上单调递减. （4） . 解：因为， ，所以 ,. 令 ，即，解得; 令，即，解得 . 所以在上单调递减，在 上单调递增. 变式 求下列函数的单调区间. （1） ； 解：因为, ，所以 ， . 令，得，所以函数在 上单调递增； 令，得，所以函数在 上单调递减. 综上可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 . （2） ； 解：因为,，所以 , . 令，得. 因为，所以， . 当时，，即函数在 上单调递增； 当或时，，即函数在， 上单调递减. 综上可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 ， . （3） ； 解：因为，所以. 令 ,得或,所以函数在，上单调递减； 令 ,得，所以函数在上单调递增. 综上可知，函数 的单调递减区间为,,单调递增区间为 . （4）， . 解：因为，，所以， . 令，得，又因为，所以，即 在 上单调递增； 令，得，又因为，所以 ，即 在 上单调递减. 综上可知，函数，的单调递增区间为 ，单调递 减区间为 . ［素养小结］ 判断函数单调性的方法有以下几种： （1）利用函数单调性的定义，在定义域内任取,，且 ，通过判断 的符号来确定函数的单调性. （2）图象法，观察函数图象的变化趋势直接判断. （3）利用导数判断可导函数在内的单调性，其步骤是：①求 ； ②确定在 内的符号；③得出结论. 拓展 [2024·江苏东台高二期末] 已知函数, . （1）求曲线在点 处的切线方程； 解：因为,，所以, ，所以, 又,所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 . （2）求证：在 上是增函数. 证明：由（1）知,， 因为，所以 ， 又，所以， 所以在 上是增函数. 探究点二 利用函数单调性解决函数与导函数图象问题 例2（1） 已知函数的图象如图所示，则其导函数 的图象 可能是____.（填序号） ② [解析] 由函数的图象可知，函数在上单调递增，在 上单调递减，故在 ... ...
