(
课件网) 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.1 函数的单调性 第2课时 利用导数解决函数单调性综合问题 探究点一 利用导数判断含参函数的单调性 探究点二 已知单调性或单调区间求参数 探究点三 利用导数研究函数增减快慢 【学习目标】 1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系. 2.能求简单的含参函数的单调区间及根据函数单调性求参数的取值范围. 3.利用导数研究函数的增减快慢情况. 探究点一 利用导数判断含参函数的单调性 例1（1） 已知函数，讨论 的单调性. 解：由，得，令，解得 或 . ①当时，因为，所以函数在 上单调递增； ②当时，由，得 ， 由，得 ， 所以函数在，上单调递增，在 上单调递减； ③当时，由，得 ， 由，得，所以函数在， 上单调递 增，在 上单调递减. 综上，当时，函数在 上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在 上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在 上单调递减. （2）已知函数，讨论 的单调性. 解：由 ，得 . ①若，则 . 由，得，即在 上单调递增； 由，得，即在 上单调递减. ②若，则令，得或 . 当时， ， 由，得或，即在， 上单调递增， 由，得，即在 上单调递减； 当时，,此时恒成立，即在 上单调递增； 当时， ， 由，得或，即在， 上单调递增， 由，得，即在 上单调递减. 综上可得，当时，在上单调递增，在 上单调递减； 当时，在，上单调递增，在 上单调递减； 当时，在 上单调递增； 当时，在，上单调递增，在 上单调递减. 变式（1） 已知函数,讨论函数 的单调性. 解： . 若,则,在 上单调递增; 若,则当时,,当时, , 在上单调递减,在 上单调递增; 若,则当时,,当时, , 在上单调递减,在 上单调递增. 综上可知，当时，在上单调递增；当时， 在 上单调递减，在上单调递增；当时，在 上单 调递减，在 上单调递增. （2）已知函数，讨论 的单调性. 解：因为 ,所以 . 当时，，所以在 上单调递增； 当时，令，解得 , 由，得,由，得 , 所以在上单调递减，在 上单调递增. 综上所述，当时，在 上单调递增； 当时，在上单调递减，在 上单调递增. ［素养小结］ （1）研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. （2）划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论. 探究点二 已知单调性或单调区间求参数 例2（1） 已知在上单调递增，则实数 的取值范围 是( ) D A. B. C. D. [解析] 由已知可得在上恒成立，即 对任意 恒成立. 因为在上的最小值为 ,所以 ，故选D. （2）函数在区间上单调递减，则 的取值范围 是( ) B A. B. C. D. [解析] 由，得 ，因为函 数在区间上单调递减，所以在 上恒成立，即对任意恒成立. 令， ，则，设,， 则 ，所以在上单调递增， 所以，所以,即 的取值范围是 . （3）已知函数，若函数在区间 上单调递减， 求实数 的取值范围. 解：,. 令 ,解得,则的单调递减区间为 在区间 上单调递减, 解得,即实数的取值范围是 . 变式（1） 已知,若函数在区间 上单调递减， 在区间上单调递增，则 ___ . 1 [解析] 由，得， 因为函数在区间 上单调递减，在区间上单调递增， 所以 ，解得 . （2）若函数在区间上有单调递增区间，则实数 的取值范围是_____. [解析] ，由题意得在 上有解，即 在上有解. 根据对勾函数的性质可知在 上单调递增， 所以，故实数的取值范围是 . （3）已知函数，若函数在区间 上不单调,求实数 的取值范围. 解:,. 令,解得 或, 函数在区间上不单调, 或, 解得或,故实数 的取值范围是 . ［素养小结］ 利用导数解决函数单调性问题的一般步骤: （1）确定函数的定义域； （2）求导函数 的零点； （3）若已知函数的单调性求参数,则由单调性可得或 ,再 利用函数与方程思想求解. 拓展 已知 . （1）若 ... ...
