1.4　第1课时　线段垂直平分线的性质 课件（共28张PPT）-初中数学苏科版（2024）八年级上册

(课件网) 第1课时　线段垂直平分线的性质 第1章　1.4　线段垂直平分线与角平分线 1.探索并掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.(重点、难点) 2.能灵活运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题.(重点、难点) 学习目标 情境引入 1.我们已经知道，线段和角都是轴对称图形，它们的对称轴分别是线段的垂直平分线和角平分线.下面，我们利用全等三角形研究它们的性质. 2.如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A，B两村到车站距离相等？ 一、线段垂直平分线的性质 问题1　如图，线段AB的垂直平分线l与AB相交于点O，在l上任意取一点P，连接PA，PB.线段PA与PB一定相等吗？如何证明？ 提示　因为OP是线段AB的垂直平分线，所以AO=BO，∠POA=∠POB=90°.通过“SAS”，可证△POA≌ △POB，所以PA与PB相等. 问题2　试着解决本节“情境引入”中的第2题. 提示　利用线段垂直平分线的性质定理解决问题，到A，B两村的距离相等只要连接AB，作出线段AB的垂直平分线，找出与公路交点即可.如图所示，点P即为公共汽车站的位置. 知识梳理 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 . 符号语言： ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线的性质定理). 相等 如图，在△ABC中，AC=4，BC=10，AB的垂直平分线交BC于点D，点E是垂足，求△ACD的周长. 例1 解　∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC=4，BC=10， ∴DA=DB(线段垂直平分线的性质定理). ∴△ACD的周长=DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=10+4=14. 如图，在△ABC中，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足，△DAF的周长为16，求BC的长. 跟踪训练1 解　∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线， ∴BD=AD，CF=AF， ∵△DAF的周长为16， ∴AD+DF+AF=16， ∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF=16. 二、线段垂直平分线性质定理的逆定理 问题3　如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗？如何证明？ 提示　如图1，当点Q在线段AB上时，如果QA=QB，那么Q是线段AB的中点，所以线段AB的垂直平分线一定经过点Q. 如图2，当点Q在线段AB外时，作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA=∠QMB=90°.如果QA=QB，那么通过“HL”，可以证明Rt△QAM≌Rt△QBM，所以AM=BM，即M是线段AB的中点， 所以QM是线段AB的垂直平分线，即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. 问题4　如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E.你能在图中找到哪些相等的角？如何证明？ 提示　图中相等的角有∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°，∠ABC= ∠ADC，∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD， ∠ABE=∠ADE，∠CBE=∠CDE. 证明：∵AB=AD，CB=CD， ∴点A，C在线段BD的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理)， ∴AC垂直平分BD， ∴∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90°. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS). ∴∠ABC=∠ADC，∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD. 在Rt△ABE和Rt△ADE中， ∴Rt△ABE≌△ADE(HL)， ∴∠ABE=∠ADE. 在Rt△BCE和Rt△DCE中， ∴Rt△BCE≌Rt△DCE(HL)， ∴∠CBE=∠CDE. 知识梳理 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离 的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合. 符号语言： ∵PA=PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理). 相等 (课本P36例1)如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上. 例2 证明　如图，连接OA，OB，OC. ∵点O在AB的垂直平分线l1上， ∴OA=OB(线段垂直平分线的性质定理). 同理，OA=OC. ∴OB=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上(线段垂直平分线性质定理的逆定理). 三角形三条边的垂直平分 ... ...