人教A版（2019） 必修第一册 3.1 函数的概念及其表示 同步课堂 (原卷版+解析版)

3.1 函数的概念及其表示 【知识点1】函数的概念 1 【知识点2】同一函数的判断 4 【知识点3】 函数的定义域 7 【知识点4】函数的值域 9 【知识点5】函数的解析式 12 【知识点6】函数的图象 16 【知识点7】分段函数 19 1.知道函数的概念、同一函数的判断(重点)。 2.掌握函数的图象、定义域、值域、解析式的求解(重难点)。 3.理解分段函数(重点) 【知识点1】函数的概念 函数的定义 (1)设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． (2)记作：，． (3) x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． (4)函数的定义（特别是它的“取元任意性，取值唯一性”）是解决某些问题的关键． 【例1】（2024秋 陕西期末）下列图象中，可以表示函数的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象定义可得答案． 【解答】解：选项A，C，D的函数图象中存在x∈[0，+∞），对应多个不同的函数值，故不可以表示函数， 选项B符合题意． 故选：B． 【例2】（2024秋 拱墅区校级期末）已知f：x→|x|是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{2}，那么集合A不可能是（　　） A．{﹣2，2} B．{﹣2} C．{﹣1，2} D．{2} 【答案】C 【分析】根据函数的定义，先求出集合A中的元素，即可得出结论． 【解答】解：由已知|x|＝2，解之得，x＝±2． 由函数的定义可知，A、B、D均有可能，C是不可能的， 故选：C． 【例3】（2024秋 天河区期末）集合A，B与对应关系f如图所示，下列说法正确的是（　　） A．若，则a＝2 B．f：A→B是从集合A到集合B的函数 C．x∈A，y∈B对应关系 D．f：A→B的定义域为集合A，值域为集合B 【答案】B 【分析】根据题意，利用函数的定义和对应关系依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（5）＝4，若f（a﹣1）f（5）＝2，则a﹣1＝1或2，即a＝2或3，A错误； 对于B，由函数的定义，f：A→B是从集合A到集合B的函数，B正确； 对于C，若对应关系，则x＝1时，对应y的值为1，不成立，C错误； 对于D，f：A→B的定义域为集合A，值域为{2，3，4，5}，D错误． 故选：B． 【例4】（2024秋 聊城期末）已知集合A＝R，B＝（0，+∞），则下列f：A→B是从集合A到集合B的函数的为（　　） A．f（x）＝lnx B． C．f（x）＝x3 D．f（x）＝3x+1 【答案】D 【分析】根据题意，利用函数的定义逐一判断即可． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞），不等于集合A，不符合题意； 对于B，f（x），其值域为[0，+∞），不是B的子集，不符合题意； 对于C，f（x）＝x3，其值域为实数集R，不是B的子集，不符合题意； 对于D，f（x）＝3x+1，其定义域为（1，+∞），是B的子集，符合题意． 故选：D． 【知识点2】同一函数的判断 1．函数三要素 (1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）． (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 2．同一函数的判断 (1)只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数． (2)定义域不同，两个函数也就不同． (3)对应法则不同，两个函数也是不同的． (4)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则 例1： 【例5】（2025 湖南模拟）下列函数中，与y＝x是同一个函数的是（　　） A． B． C． ... ...