3.2 函数的单调性与最值 【知识点1】单调性的概念 1 【知识点2】函数的单调区间 4 【知识点3】由单调性求参数 7 【知识点4】由单调性求解不等式 10 【知识点5】复合函数的单调性 13 【知识点6】单调性的证明 16 【知识点7】函数的最值 19 1.知道函数单调性的概念(重点)。 2.掌握函数单调的求解与证明(重难点)。 3.掌握复合函数的单调性(重点)。 【知识点1】单调性的概念 函数的单调性 (1)在上是增函数任取，，． (2)在上是增函数任取，． (3)在上是增函数任取，． (4)在上是减函数任取，，． (5)在上是减函数任取，． (6)在上是减函数任取，． 【例1】（2025春 青山湖区校级期中）下列函数中，在（0，1）为减函数的是（ ） A．y＝x﹣1 B． C．y＝x2 D．y＝x3 【答案】A 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，y＝x﹣1，是反比例函数，在（0，1）为减函数，符合题意； 对于B，y，是幂函数，在（0，1）为增函数，不符合题意； 对于C，y＝x2，是二次函数，在（0，1）为增函数，不符合题意； 对于D，y＝x3，是幂函数，在（0，1）为增函数，不符合题意． 故选：A． 【例2】（2024秋 海淀区校级期末）设函数y＝f（x）的定义域为D，开区间I D，则“ x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）”是“y＝f（x）在I上是增函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合增函数的定义判断得解． 【解答】解：根据题意，对于必要性， 若函数y＝f（x）在I上是增函数，则 x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），必要性成立； 反之，取函数， 在区间I＝（﹣1，1）， 显然 x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），而函数f（x）在I上不单调，充分性不成立， 所以“ x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）”是“y＝f（x）在I上是增函数”的必要不充分条件． 故选：B． 【例3】（多选）（2024秋 牡丹江期末）函数y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，则下列选项正确的是（ ） A．f（x1）＞f（x2） B．f（x1）﹣f（x2）＞0 C．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 D． 【答案】ABC 【分析】根据函数单调性及0＜x1＜x2，得到f（x1）＞f（x2），进而判断出A、B、C正确，D错误，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A、B选项，y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，故f（x1）＞f（x2），f（x1）﹣f（x2）＞0，AB正确； 对于C、D选项，因为x1﹣x2＜0，f（x1）﹣f（x2）＞0，所以（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，，C正确，D错误． 故选：ABC． 【例4】（多选）（2024秋 吉林校级期末）下列说法中，正确的有（ ） A．若任意x1、x2∈I，当x1＜x2时，，则y＝f（x）在I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数在定义域上是减函数 D．函数的单调区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞） 【答案】AC 【分析】根据题意，由函数单调性的定义依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，对任意x1、x2∈I，当x1＜x2时，，则f（x1）＜f（x2）， 所以，函数y＝f（x）在I上是增函数，A正确； 对于B，二次函数y＝x2是二次函数，在R上不单调，B错误； 对于C，函数，其图象如下图所示： 由图象可知，函数在定义域上是减函数，C正确； 对于D，函数的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），但该函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，D错误． 故选：AC． 【知识点2】函数的单调区间 1．函数单调性的判断方法 (1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论 ... ...
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