3.3 函数的奇偶性 【知识点1】奇偶性的判断 1 【知识点2】由奇偶性求值 2 【知识点3】由奇偶性求参数 3 【知识点4】由奇偶性求解析式 4 【知识点5】抽象函数的奇偶性 5 【知识点6】奇偶性与单调性 6 1.知道函数的奇偶性(重点)。 2.掌握函数奇偶性的应用(重难点)。 3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用(重点)。 【知识点1】奇偶性的判断 奇偶性的判断 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． (2)验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． (3)图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． (4)性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． (5)判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断 【例1】（2025 郴州模拟）下列函数中，是奇函数的是（ ） A．y＝x2+1 B． C．y＝x+1 D． 【例2】（2024 江苏学业考试）函数（ ） A．是奇函数但不是偶函数 B．是偶函数但不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【例3】（2024秋 广州校级期中）下列函数是偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【例4】（多选）（2024秋 吐鲁番市期末）下列函数中为偶函数的是（ ） A．f（x）＝|x| B． C． D．f（x）＝﹣x2+1（x≤0） 【知识点2】由奇偶性求值 由奇偶性求值 (1)的等价形式为：． (2)的等价形式为：． (3)若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有 例1： 【例5】（2025 赣州二模）已知函数f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，则f（﹣5）＝（ ） A．﹣5 B．0 C．2 D．5 【例6】（2024秋 周口校级期末）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【例7】（2024秋 潍坊期末）已知函数f（x）＝x2025+ax3+bx+1，且f（﹣2024）＝10，则f（2024）＝ ． 【例8】（2025 天水学业考试）已知f（x）＝﹣x2+mx+2，x∈R． （1）当m＝3时，求f（1）值； （2）若f（x）是偶函数，求f（x）的最大值． 【知识点3】由奇偶性求参数 函数的奇偶性 (1)若为偶函数，则． (2)若为奇函数，则． (3)利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决． (4)在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解 例1： 【例9】（2025春 西安校级月考）若函数f（x）＝ax2+（2b+a）x﹣a+b是定义在[2a，2﹣a]上的偶函数，则a+b＝（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 【例10】（2025 宝山区二模）已知m、n为常数，函数y＝（m﹣1）x2+3x+2﹣n为奇函数，则m+n＝ ． 【例11】（2025 邯郸开学）已知函数f（x）＝x|2x+a|是奇函数，则a＝ ． 【例12】（2024春 通州区期末）已知函数． （Ⅰ）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值； （Ⅱ）当a＝2，b＝1时，求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值． 【知识点4】由奇偶性求解析式 由奇偶性求解析式 (1)抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式． (2)或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式． 例1： 【例13】（2024秋 泸县校级期中）已知函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝﹣x（x+1），则当x＜0时，f（x）＝ ． 【例14】（2024秋 湖北期中）已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，x＞0时，f（x）＝x3﹣2x2+1，则函数f（x）在R上的解析式为 ． 【例15】（2025春 河源校级月考）函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为． （1）求f（﹣2）的值； （2）当x＜0时，求函数的解析式． 【例16】（2024秋 越秀区 ... ...
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