1.1 空间向量及其运算（含解析）--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业

中小学教育资源及组卷应用平台 1.1 空间向量及其运算--2025-2026学年高中数学人教A版选择性必修一课时作业 一、选择题 1．已知向量,,,若,,共面,则( ) A.4 B.2 C.3 D.1 2．如图，四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，N为BC的中点，则( ) A. B. C. D. 3．如图，在四面体OABC中，D为BC的中点，，且P为OG的中点，则( ) A． B． C． D． 4．已知空间单位向量,,两两垂直,则( ) A. B. C.3 D.6 5．设正四面体的棱长为2，M是的中点，则的值为( ) A. B.-1 C. D.1 6．已知为单位正交基底，，则a在i上的投影为( ) A.1 B.2 C.3 D.6 7．在四面体ABCD中，P在平面ABC内，Q在平面BCD内，且满足，，若，则下列说法正确的是( ) A.AQ与DP所在直线是异面直线 B.AQ与DP所在直线平行 C.线段AQ与DP必相交 D.线段AQ与DP延长后相交 8．如图，M为四面体的棱的中点，N为的中点，点P在线段上，且，设，，，则( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有( ). A. B.若,则 C.点A关于平面对称的点的坐标为 D. 10．若构成空间的一个基底,则下列向量共面的是( ) A.,, B.,, C.,, D.,, 11．如图,在平行六面体中,设,,,若M为与的交点,则下列等式正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．化简：_____. 13．在棱长为2的正方体中，M为棱上任意一点，则_____. 14．与共线的单位向量是____. 15．如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_____. 四、解答题 16．已知a，b都是空间向量，且，求. 17．已知，，，证明这三个向量共面. 18．如图所示，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，如果，求证：ABCD是矩形. 19．已知四面体ABCD的每条棱长都等于a，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 20．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线都等于1，点E，F，G分别是，，的中点，设，，，，，为空间向量的一组基底，计算： (1); (2). 参考答案 1．答案：D 解析：因为,,共面,所以存在两个实数m、n,使得, 即,即,解得. 故选:D 2．答案：C 解析：因为，所以， 又N为BC的中点，所以， 因此，. 故选C. 3．答案：A 解析:由题意， , 故选：A 4．答案：A 解析：因为空间单位向量,,两两垂直, 所以,,,,, 所以 . 故选：A. 5．答案：B 解析: 故选：B 6．答案：A 解析：，则a在i上的投影为.故选A. 7．答案：C 解析：若，则，，所以，所以A，P，D，Q四点共面；若，，则由得， 令，则，故A，P，D，Q四点共面. 又AQ与DP不平行，所以线段AQ与DP必相交.故选C. 8．答案：A 解析：M为四面体的棱的中点，N为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 9．答案：AB 解析：对A,,故A正确; 对B,,所以,故B正确; 对C,点A关于平面对称的点的坐标为,故C错误; 对D,,故D错误. 故选：AB. 10．答案：ABD 解析：对于A,有,所以,,共面; 对于B,有,所以,,共面; 对于C,假设,,共面,则有,即,由题意不共面,所以,无解, 故假设不成立,所以,,不共面; 对于D,,所以 ,,共面. 故选：ABD. 11．答案：BD 解析：,故A错误; ,故B正确; ,故C错误; ,故D正确; 故选:BD 12．答案： 解析：原式 . 13．答案：4 解析：棱长为2的正方体如图所示， 14．答案：或 解析:， ，即或. 故答案为：或 15．答案： 解析：依题意，， 得， 由底面为矩形，，， 得， 显然， 又 ， 因此， 所以. 故答案： 16．答案： 解析：与同向，b与反向，且， . 另解：， ，， 又向量的夹角范围为， . 17．答案：证明见解析 解析：证明：设， 则. 向量i，j，k不共面， 解得 故存在实数，，使得， 故向量a，b，c共面. 18．答案：证明见解析 解析：证明：因为底面AC， 所以AB为PB在底面AC内的射影. 又，所以由三垂线定理的逆定理可得. 又因为底 ... ...