【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.5 三角函数模型的简单应用 课件----2026版高中数学湘教版必修第一册

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第5章　三角函数 5.5　三角函数模型的简单应用 学习任务 核心素养 1．了解三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．(重点) 2．实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 1．通过建立三角函数模型解决实际问题，培养数学建模素养． 2．借助实际问题求解，提升数学运算素养． 关键能力·合作探究释疑难 类型1　匀速圆周运动的数学模型 【例1】　如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度2 rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系． [解]　由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝＋ωt， 根据三角函数的定义，得P点纵坐标 y＝|OP|sin ∠POx＝20sin ，即所求y关于时间t的函数关系式为y＝20sin ， 又∵ω＝2， ∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sin ，t∈[0，＋∞)． 反思领悟　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系． [跟进训练] 1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　) A．y＝sin 　　　 B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin √ C　[∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0．又由每60秒转一周，∴ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cos φ＝，sin φ＝，解得φ＝．故选C．] 类型2　三角函数模型的实际应用 【例2】　【链接教材P199例1】 某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天(24小时)之内呈周期性变化，且符合函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋k，其中f (t)为水深(单位：米)，t为时间(单位：时)，t∈[0，24)．研究小组绘制了水深图，部分信息如图． (1)求f (t)的解析式； (2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时为2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底距离)，问： ①该船满载时一天之内何时能进出港口？ ②该船凌晨3时已经在港口卸货完毕准备空载离港；为确保安全，需在安全水深到达前一小时提前离港，最迟在几时之前离港才能确保安全？ [解]　(1)由题意得A＝＝2，k＝＝5，T＝2×(8－2)＝12＝，∴ω＝．当t＝2时f (t)最大，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又φ∈，∴φ＝， ∴f (t)＝2sin ＋5，t∈[0，24)． (2)①由题意得2sin ＋5≥4.5＋1.5，即sin ， ∴2kπ＋t＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k≤t≤12k＋4，k∈Z． ∵t∈[0，24)，∴k＝0或k＝1． ∴0≤t≤4或12≤t≤16， ∴该船满载时一天之内0时到4时或12时到16时能安全进出港口． ②空载时水深至少要4米，由2sin ＋5≥2.5＋1.5得 sin ≥－，∴2kπ－t＋≤2kπ＋，k∈Z． ∴12k－2≤t≤12k＋6，k∈Z． 又t∈[0，24)，∴0≤t≤6或10≤t≤18或22≤t<24． ∵6－1＝5， ∴最多滞留到5时可确保安全离港． 【教材原题·P199例1】 例1　图5.5-1为小球在做单摆运动(可近似看作简谐振动)时，离开平衡位置时的位移y(cm)随时间x(s)变化的函数图象，已知该图象满足y＝A sin (ωx＋φ)的形式．试根据函数图象求出这个单摆运动的函数解析式． [解]　由图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2． 因为点在函数图象上，且函数图象满足y＝A sin (ωx＋φ)的形式，所以A sin ＝0，即sin ＝0． 又已知0<φ<，则<＋φ<，从而＋φ＝π，即φ＝． 又点(0，1)在函数图象上， 所以A sin ＝1，得A＝2． 故所求 ... ...