【学霸笔记：同步精讲】第2章 2.1 2.1.3 基本不等式的应用 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

2.1.3　基本不等式的应用 学习任务 核心素养 1．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．(重点) 2．会用基本不等式求解实际应用题．(难点) 1．通过基本不等式求最值，提升数学运算素养． 2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养． 某金店有一座天平，由于左右两臂长略有不等，所以直接称重不准确．有一位顾客要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，得到两个不同的重量a和b，然后就把两次称得的重量的算术平均数作为项链的重量来计算．顾客对这个重量的真实性提出了质疑，那么这样计算的重量相对于原来的真实质量到底是大了还是小了呢？ 知识点　用基本不等式求最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大． x＋的最小值是2吗？ [提示]　不一定．如当x<0时，x＋<0． 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件：一正、二定、三相等，这三个条件缺一不可． 1．若x>0，则y＝x＋的最小值为_____． 4　[∵x>0，∴y＝x＋≥2＝4． 当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立．] 2．已知00， ∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立． 故当x＝1时，y最大值＝1． (2)∵00， ∴y＝x(1－2x)＝×2x(1－2x)≤＝＝， ∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立．故当x＝时，y最大值＝． 　利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”．解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创造应用基本不等式的条件． [跟进训练] 1．(1)已知x>0，求y＝的最小值； (2)已知00)的最小值为9． (2)法一：∵00． ∴y＝x(1－3x)＝×3x(1－3x)≤＝， 当且仅当3x＝1－3x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 法二：∵00． ∴y＝x(1－3x)＝3·x≤3·＝， 当且仅当x＝－x，即x＝时，等号成立． ∴当x＝时，y＝x(1－3x)取得最大值． 类型2　利用基本不等式求条件最值 【例2】　已知x＞0，y＞0，且满足＝1．求x＋2y的最小值． [解]　∵x＞0，y＞0，＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋≥10＋2＝18， 当且仅当即时，等号成立． 故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18． [母题探究] 若把“＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求的最小值． [解]　∵x>0，y>0， ∴＝(x＋2y) ＝8＋＋2＝10＋≥10＋2＝18． 当且仅当＝时等号成立， 结合x＋2y＝1，得x＝，y＝， ∴当x＝，y＝时，取到最小值18． 　常数代换法求最值 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商． [跟进训练] 2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求的最小值． [解]　法一：∵a>0，b>0，且a＋2b＝1， ∴＝·1＝·(a＋2b) ＝1＋＋2＝3＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当即时，等号成立． ∴的最小值为3＋2． 法二：∵a>0，b>0，且a＋2b＝1， ∴＝＝1＋＋2＝3＋≥3＋2， 当且仅当即时，等号成立． ∴的最小值为3＋2． 类型3　利用基本不等式解决 ... ...