【学霸笔记：同步精讲】第3章 3.1 3.1.1 第1课时 函数的概念(一) 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

3.1　函数 3.1.1　对函数概念的再认识 第1课时　函数的概念(一) 学习任务 核心素养 1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(难点) 2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用． 3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点) 1．通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养． 2．通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养． 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)． 如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？ 知识点　函数的概念 定义 设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f ，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f ：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f (x)(x∈A，y∈B) 三要素 对应关系 y＝f (x)，x∈A 定义域 自变量x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A} 1．在函数的概念中，如果y＝f (x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？ [提示]　确定． 2．如果y＝f (x)的定义域与值域确定，那么对应关系确定吗？ [提示]　不确定．如函数的定义域为{－1，0，1}，值域为{0，1}，则对应关系可以为f (x)＝x2或f (x)＝|x|． 理解函数的概念应关注的三点 (1)函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数． (2)y＝f (x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f 与x的乘积”，f (x)也未必有解析式． (3)除f (x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y． (　　) (2)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　) (3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合． (　　) (4)在函数的定义中，集合B是函数的值域． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下图中能表示函数关系的是_____(填序号)． ①　　　　②　　　　③　　　　④ [答案]　①②④ 类型1　函数关系的判断 【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形： ①　　　②　　　　③　　　　④ 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 (2)(多选题)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　) A．f ：把x对应到3x＋1 B．g：把x对应到|x|＋1 C．h：把x对应到 D．r：把x对应到 (1)B　(2)AB　[(1)图①不满足定义域M＝{x|0≤x≤2}； 图③不满足集合N＝{y|0≤y≤2}； 图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值． (2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB．] 　1．判断一个对应关系是不是函数的方法 2．根据图形判断对应关系是不是函数的方法 (1)任取一条垂直于x轴的直线l． (2)在定义域内平行移动直线l． (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． [跟进训练] 1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数． (1)A＝N，B＝N＋，对应关系f ：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应； (2)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应关系f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应关系f ：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}， ... ...