【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.1 4.1.1 4.1.2 第1课时 根式 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

4.1　实数指数幂和幂函数 4.1.1　有理数指数幂 4.1.2　无理数指数幂 第1课时　根式 学习任务 核心素养 1．理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 2．能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 1．通过学习n次方根、根式，培养数学抽象素养． 2．借助根式的性质对根式进行运算，培养数学运算素养． 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯索斯思考了一个问题：边长为1的正方形的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数表示，也不能用分数来表示，希伯索斯的发现使数学史上第一个无理数诞生了． 若x2＝3，则这样的x有几个？它们叫作3的什么？如何表示？ 知识点1　根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即_____，则称x是a的n次方根． (2)a的n次方根的表示 当n是奇数时，数a的n次方根记作_____． 当n是偶数时，_____数a的n次方根有两个，它们互为相反数．其中正的n次方根叫作_____，记作．当a>0时，如xn＝a，则x＝_____． (3)根式 式子(n∈N，n≥2)叫作根式，n叫作_____，a叫作_____． 1．根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(1)27的立方根是_____； (2)已知x6＝2 025，则x＝_____； (3)若有意义，则实数x的取值范围为_____． 知识点2　根式的性质(n∈N，n≥2) (1)n为奇数时，＝_____． (2)n为偶数时，＝_____＝ (3)＝_____． (4)负数没有_____方根． 2．n中实数a的取值范围是任意实数吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数a的奇次方根只有一个． (　　) (2)当n∈N＋时，n＝－2． (　　) (3)＝π－4． (　　) 3．(1)＝_____． 类型1　由根式的意义求取值范围 【例1】　写出使下列各式成立的实数x的取值范围． (1)； (2)＝(5－x)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　对于，当n为偶数时应注意的两点 (1)只有a≥0才有意义． (2)只要有意义，则必有≥0． [跟进训练] 1．若，则实数a的取值范围是_____． 类型2　利用根式的性质化简求值 【例2】　【链接教材P95例1】 化简下列各式： (1)＋5； (2)＋6； (3)． [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　 ... ...