【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.1 4.1.3 幂函数 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

4.1.3　幂函数 学习任务 核心素养 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 1．结合幂函数的图象，培养直观想象的核心素养． 2．借助幂函数的性质，培养逻辑推理的核心素养． 经调查，一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示： 价格/元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/t 1.216 1.179 1.146 1.117 1.089 1.064 1.041 根据此表，我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y＝x-0.38．这是一类怎样的函数，这类函数有什么一般的性质？ 知识点1　幂函数的概念 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数． 如何判断一个函数是幂函数？ [提示]　(1)xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为非零实数． 1．(多选题)下列函数中是幂函数的是(　　) A．y＝　　　 B．y＝x3 C．y＝3x D．y＝x-1 ABD　[只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选ABD．] 知识点2　幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图象如图所示： 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数的图象都过点(0，0)，(1，1)． (　　) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) A．①y＝，②y＝x2，③y＝，④y＝x-1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x-1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝x-1 D．①y＝x3，②y＝，③y＝x2，④y＝x-1 B　[利用排除法可得选项B正确．] 知识点3　幂函数的性质 (1)一般地，对于实数次幂函数y＝xα(α≠0)： ①当α>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0，0)和(1，1)两点； ②当α<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)．函数图象过点(1，1)，向上与y轴正向无限接近，向右与x轴正向无限接近． (2)常见幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增 函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数． (　　) (2)当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 类型1　幂函数的概念 【例1】　已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． [解]　由题意得解得所以m＝－3，n＝． 　判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1． [跟进训练] 1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 B　[∵y＝＝x-2， ∴是幂函数； y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数； y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数．] 类型2　幂函数的图象及应用 【例2】　点(，2)与点分别在幂函数f (x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有： (1)f (x)>g(x)； (2)f (x)＝g(x)； (3)f (x)