【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.4 4.4.1 方程的根与函数的零点 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

4.4　函数与方程 4.4.1　方程的根与函数的零点 学习任务 核心素养 1．理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点) 2．会求函数的零点．(重点) 3．掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数．(难点) 1．借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理素养． 2．借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象素养． 请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被不小心擦掉了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？ 知识点　函数零点存在定理 一般地，当x从a到b逐渐增加时，如果f (x)连续变化且有f (a)·f (b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f (x0)＝0．如果y＝f (x)在区间[a，b]上单调递 增或单调递减，则方程f (x)＝0在(a，b)内恰有一个根． (1)定理要求具备两个条件：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的；②f (a)·f (b)<0．两个条件缺一不可． (2)利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数． 思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (a)·f (b)>0，则f (x)在[a，b]内无零点． (　　) (2)若f (x)在[a，b]上为单调函数，且f (a)·f (b)<0，则f (x)在(a，b)内有且只有一个零点． (　　) (3)若f (x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f (a)·f (b)<0． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 类型1　求函数的零点 【例1】　(1)求函数f (x)＝的零点； (2)已知函数f (x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． [解]　(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2． 所以函数f (x)＝的零点为－3和e2． (2)由已知得f (3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a． 故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0， 解得x＝0或x＝－． 所以函数g(x)的零点为0和－． 　函数零点的求法 (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根． (2)几何法：对于不能直接求出的方程的根，可以将它与函数y＝f (x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． [跟进训练] 1．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由． (1)f (x)＝x2＋7x＋6； (2)f (x)＝1－log2(x＋3)； (3)f (x)＝2x-1－3； (4)f (x)＝． [解]　(1)解方程f (x)＝x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6， 所以函数的零点是－1，－6． (2)解方程f (x)＝1－log2(x＋3)＝0，得x＝－1，所以函数的零点是－1． (3)解方程f (x)＝2x-1－3＝0，得x＝log26，所以函数的零点是log26． (4)解方程f (x)＝＝0，得x＝－6，所以函数的零点为－6． 类型2　零点个数的判断 【例2】　【链接教材P130例1】 判断下列函数零点的个数： (1)f (x)＝(x2－4)log2x； (2)f (x)＝x2－； (3)f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2． [解]　(1)令f (x)＝0，得(x2－4)log2x＝0，因此x2－4＝0或log2x＝0， 解得x＝±2或x＝1． 又因为函数定义域为(0，＋∞)，所以x＝－2不是函数的零点，故函数有2和1两个零点． (2)法一：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，即x3＝1，解得x＝1，故函数f (x)＝x2－只有一个零点． 法二：令f (x)＝x2－＝0，得x2＝，设g(x)＝x2(x≠0)，h(x)＝，在同一坐标系中分别画出函数g(x)和h(x)的图象如图所示． 由图象可知，两个函数图象只有一个交点， 故函数只有一个零点． (3)法一：∵f (0)＝1＋0－2＝－1<0， f (2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3>0， ∴f (x)＝0在(0，2)上必定存在实根． 又f (x)＝2x＋lg (x＋1)－2在区间(－1，＋∞)上为增函数，故f (x)有且只有一个零点． 法二：令h(x)＝2－2x，g(x)＝lg (x＋1)，在同一平面直角坐标系中作出h(x)与g(x)的图象如图所示． 由图象知g(x)＝lg (x ... ...