【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.4 4.4.2 计算函数零点的二分法 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

4.4.2　计算函数零点的二分法 学习任务 核心素养 1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件．(重点) 2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解．(难点) 3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解．(易混点) 借助二分法的操作步骤与思想，培养数学建模及逻辑推理素养． 在某次猜商品价格的活动中，主持人要求选手在规定时间内猜某一物品的价格，误差不超过10元．规则如下：选手每次猜出价格后主持人根据实际的价格判断是“高了”还是“低了”，然后选手根据主持人的判断重新猜价格，直到猜中或是时间到就结束游戏．那么 “高了”“低了”在猜测过程中起了什么作用？条件“误差不超过10元”怎样理解？如何快速猜出商品价格？ 知识点1　二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f (a)·f (b)<0的函数y＝f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法． 若函数y＝f (x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是_____． 知识点2　二分法求函数零点近似值的步骤 设函数y＝f (x)定义在区间D上，其图象是一条连续曲线．求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过给定的正数ε，即使得|x－x0|≤ε． (1)在D内取一个闭区间[a，b] D，使f (a)与f (b)异号，即f (a)·f (b)<0； (2)取区间[a，b]的中点m＝(a＋b)； (3)如果|m－a|<ε，则取m为f (x)的零点近似值，计算终止； (4)计算f (m)，如果f (m)＝0，则m就是f (x)的零点，计算终止； (5)f (m)与f (a)同号则令a＝m，否则令b＝m，再执行(2)． 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二分法所求出的方程的解都是近似解． (　　) (2)函数f (x)＝|x|可以用二分法求零点． (　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内． (　　) 3．用二分法研究函数f (x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈_____，第二次应计算_____． 类型1　二分法概念的理解 【例1】　(1)(多选题)下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求图中函数零点的是(　　) A　　　　　B　　　　　C　　　　D (2)已知f (x)＝x2＋6x＋c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是(　　) A．9 B．8　　　　 C．7　　　　 D．6 [尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　运用二分法求函数的零点应具备的2个条件 (1)函数图象在零点附近连续不断． (2)在该零点左右函数值异号． 只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点． [跟进训练] 1．(多选题)下列关于函数y＝f (x)，x∈[a，b]的叙述中正确的是(　　) A．二分法既是一种求值方法，又是一种解决实际问题的思想，有着广泛应用 B．若x0是f (x)在[a，b]上的零点，则可用二分 ... ...