【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.1 任意角三角函数的定义 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

5.2　任意角的三角函数 5.2.1　任意角三角函数的定义 学习任务 核心素养 1．理解三角函数的定义，会使用定义求三角函数值．(重点、易错点) 2．会判断给定角的三角函数值的符号．(重点) 3．会利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围．(难点) 1．通过三角函数的概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助公式的运算，提升数学运算素养． 在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？ 知识点1　任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，在角α的终边上任取不同于原点O的一点P，点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是r(r＝)，那么 名称 定义 定义域 正弦 sin α＝ R 余弦 cos α＝ R 正切 tan α＝ y＝sin α，y＝cos α，y＝tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数． 1．对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ [提示]　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 2．若P(x，y)为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ [提示]　sin α＝y，cos α＝x，tan α＝． 1．若角α的终边经过点P，则sin α＝_____；cos α＝_____；tan α＝_____． －　－1　[由题意可知 |OP|＝＝1(O为坐标原点)， ∴sin α＝＝－；cos α＝＝；tan α＝＝－1．] 知识点2　三角函数值在各象限的符号 2．(1)若α在第三象限，则sin αcos α_____0；(填“＞”或“＜”) (2)cos 3tan 4_____0．(填“>”或“<”) (1)＞　(2)＜　[(1)∵α在第三象限， ∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0． (2)∵＜3＜π，π＜4＜， ∴3是第二象限角，4是第三象限角， ∴cos 3＜0，tan 4＞0， ∴cos 3tan 4＜0．] 知识点3　三角函数线 (1)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段； 有向直线：规定了正方向的直线； 有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB． (2)三角函数线 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)α一定时，单位圆中的正弦线一定． (　　) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等． (　　) [答案]　(1)√　(2)× 类型1　三角函数的定义及应用 【例1】　(1)在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值． (2)当α＝－时，求sin α，cos α，tan α的值． [解]　(1)当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝， 所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2． 当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P′(1，－2)， 则r＝＝，所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2． (2)当α＝－时，设α的终边与单位圆的交点坐标为P(x，y)(x＞0，y＜0)， 根据直角三角形中锐角的邻边是斜边的一半，得x＝，由勾股定理得＋y2＝1，y＜0，解得y＝－，所以P．因此sin α ＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－． [母题探究] 1．将本例(1)的条件“y＝－2x”改为“y＝－x”，其他条件不变，结果又如何？ [解]　当α的终边在第二象限时，在α的终边上取一点P(－1，)，则r＝2， 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－)，则r＝2， 所以sin ... ...