【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2 5.2.2 同角三角函数的基本关系 讲义----2026版高中数学湘教版必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 学习任务 核心素养 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点) 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点) 1．通过同角三角函数的基本关系进行运算，培养数学运算素养． 2．借助数学式子的证明，培养逻辑推理素养． 结合三角函数的定义，分析同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？ 知识点　同角三角函数的基本关系 (1)平方关系 ①公式：sin2α＋cos2α＝1． ②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1． (2)商数关系 ①公式：tan α． ②语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切． 对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？ [提示]　成立．平方关系中强调的同一个角是任意的，与角的表达形式无关． 对同角三角函数的基本关系的解读 (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　) A．tan α＝－ B．cos α＝－ C．sinα＝－ D．tanα＝ B　[由商数关系可知A，D均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B正确．] 2．已知cos α＝－，且α为第三象限角，则sin α＝_____，tan α＝_____． －　[∵cos α＝－，α为第三象限角， ∴sin α＝－＝－＝－． tanα＝＝＝．] 类型1　直接应用同角三角函数关系求值 【例1】　【链接教材P168例5、P169例6】 (1)已知α∈，tan α＝2，则cos α＝_____． (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． (1)－　[由已知得 由①得sin α＝2cos α， 代入②得4cos2α＋cos2α＝1， 所以cos2α＝． 又α∈，所以cosα＜0， 所以cos α＝－．] (2)[解]　∵cos α＝－＜0， ∴α是第二或第三象限的角． 如果α是第二象限角，那么 sin α＝＝＝， tanα＝＝＝－． 如果α是第三象限角，同理可得 sin α＝－＝－，tanα＝． 【教材原题·P168例5、P169例6】 例5　已知sin α＝－，求cos α，tan α的值． [解]　因为sin α<0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角． 由sin2α＋cos2α＝1得 cos2α＝1－sin2α＝1－＝． 如果α是第三象限角，那么cosα<0．于是cos α＝－＝－， 从而tan α＝＝＝． 如果α是第四象限角，那么cos α＝，tan α＝－． 例6　已知tan α＝k，且角α在第三象限，求sin α，cos α． [解]　由角α在第三象限知：sin α<0，cos α<0． 由＝tan α＝k，得sin α＝k cos α． 将上式代入sin2α＋cos2α＝1， 得k2cos2α＋cos2α＝1， 即cos2α＝． 因此cosα＝－，sin α＝tan α·cos α＝－． 　求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 (2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解 提醒：当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． [跟进训练] 1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． [解]　∵sin α＋3cos α＝0， ∴sin α＝－3cos α． 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cosα)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1， ∴cosα＝±． 又由sin α＝－3cos α， 可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－． 类型2　应用同角三角函数关系式化简、证明 【例2】　(1)化简＝_____． (2 ... ...