1.4 用空间向量研究直线、平面位置关系 【知识点1】直线、平面的向量表示 1 【知识点2】平面的法向量 2 【知识点3】平行问题 3 【知识点4】垂直问题 4 【跟踪训练】 6 1.会求平面的法向量(重点)。 2.掌握垂直关系的证明(重难点)。 3.掌握平行关系的证明用空间向量研究直线、平面位置关系(重点)。 【知识点1】直线、平面的向量表示 直线、平面的向量表示 (1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量． (2)空间直线的向量表示：． 例1： 【例1】（2024秋 赤峰期末）已知向量（4，﹣2，6），（﹣4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A．﹣1或1 B．﹣1 C．﹣3 D．1 【例2】（2024秋 怀柔区期末）已知直线l1的一个方向向量为，直线l2的一个方向向量为，若l1∥l2，则t值为（ ） A．﹣3 B．1 C． D． 【例3】（2024秋 市中区期末）若A（1，0，﹣1），B（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A．（1，1，1） B．（1，1，3） C．（3，1，1） D．（﹣3，0，1） 【例4】（2025春 滨海县校级月考）已知直线l1的方向向量为（1，0，m），直线l2的方向向量为（0，1，m），若l1与l2的夹角为60°，则m等于（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．0 【知识点2】平面的法向量 1．平面的法向量 (1)直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量． (2)直线l⊥α,取直线l的方向向量，称向量为平面α的法向量． 2．法向量的求解 (1)写出平面内两向量的坐标． (2)设出法向量． (3)根据数量积为零列出方程组． (4)解方程组，求出一个法向量． 例1： 【例5】（2025春 宿州期中）已知平面α内有两个向量，，设平面α的法向量为，则可以为（ ） A．（1，2，2） B．（﹣1，2，2） C．（1，2，﹣2） D．（﹣1，﹣2，2） 【例6】（2025春 长汀县校级月考）平面α内三点坐标分别为A（1，0，﹣1），B（﹣1，1，﹣1），C（﹣1，0，0），则平面α的一个法向量为 ． 【例7】（2024秋 铜山区校级月考）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1． （1）求出对角线AC1的一个方向向量． （2）求出平面ACB1的一个法向量． 【例8】（2024秋 广州校级期中）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，点E在棱AB上移动． （1）证明：D1E⊥A1D； （2）求平面ACD1的法向量． 【知识点3】平行问题 1．直线、平面的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合) v1∥v2． (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l α 存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2． (3)设l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l α v⊥u． (4)平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β u1∥u2． 2．用向量证明平行问题 (1)线线平行：方向向量平行． (2)线面平行：平面外的直线方向向量与平面法向量垂直． (3)面面平行：两平面的法向量平行． 例1： 【例9】（2025春 崇川区期中）已知（4，x﹣1，x+1）是直线l的方向向量，（1，2，3）是平面α的法向量．若l∥α，则x＝（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【例10】（2024秋 铜仁市期末）已知（2，﹣1，3），（﹣4，λ，μ）分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则（ ） A．λ＝2μ B．λ＝μ C．3λ+μ＝0 D．λ+3μ＝8 【例11】（2024秋 咸阳期末）已知直线l1，l2的方向向量分别是，，若l1∥l2，则a+b＝ ． 【例12】（2024秋 浦东新区校级期末）设直线l的一个方向向量（2，2，﹣1），平面α的一个法向量（﹣6，8，4），则直线l与平面α的位置关系是 ． 【知识点4】垂直问题 1．直线、平面的垂直关系 (1)设l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l ... ...
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