人教A版（2019）选择性必修第一册 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 同步课堂 (原卷版+解析版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 【知识点1】直线与圆的位置关系 1 【知识点2】圆的切线方程 3 【知识点3】切线长问题 7 【知识点4】直线与圆相交 9 【知识点5】圆与圆的位置关系 12 【知识点6】直线、圆的综合 15 1.知道直线与圆、圆与圆的位置关系(重点)。 2.掌握直线与圆的相交弦长(重难点)。 3.掌握圆的切线方程、切线长问题(重点)。 【知识点1】直线与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点． (2)直线与圆相交：直线与圆有两个公共点． (3)直线与圆相离：直线与圆没有公共点． 2．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交。 【例1】（2025 西安模拟）直线l：x+ay﹣a＝0与圆C：x2+y2+2y﹣5＝0的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【分析】先求出直线经过的定点A（0，1），求出圆C的圆心C（0，﹣1）和半径，由即可判断． 【解答】解：因为直线l：x+ay﹣a＝0，所以x+a（y﹣1）＝0， 则，解得，所以直线l：x+ay﹣a＝0过定点A（0，1）， 由圆C：x2+y2+2y﹣5＝0配方得：x2+（y+1）2＝6， 则圆心为C（0，﹣1），半径为， 因为，所以点A在圆C内，故直线l与圆C相交． 故选：C． 【例2】（2025 大兴区校级模拟）已知直线l：x+y﹣1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则（　　） A．l与C相离 B．l与C相切 C．l平分C D．l与C相交但不平分C 【答案】C 【分析】求解圆的圆心，判断圆心与直线的位置关系，即可得到选项． 【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4，圆的圆心（﹣1，2），圆的圆心满足直线l：x+y﹣1＝0，所以直线经过圆的圆心， 所以C正确．A、B、D不正确． 故选：C． 【例3】（2025春 娄底期中）已知直线l：kx﹣y﹣k﹣1＝0和圆C：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，则直线l与圆C的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】由题意可求出直线所过定点（1，﹣1），根据点和圆的位置关系求出直线与圆的位置关系． 【解答】解：由题意l：kx﹣y﹣k﹣1＝0，整理得k（x﹣1）﹣（y+1）＝0， 所以直线过定点A（1，﹣1），圆C：x2+y2﹣2x+4y+4＝0中， 整理得（x﹣1）2+（y+2）2＝1，所以圆心C（1，﹣2），半径为1；故|AC|＝1， 所以点A为圆C上一点，故直线1与圆相交或相切． 故选：D． 【例4】（2025 北京校级模拟）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，则直线l与圆C的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．与m有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数． 【解答】解：根据题意，直线l：mx﹣y﹣2m＝0，即y＝m（x﹣2），恒过定点A（2，0）， 圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25，有（2﹣1）2+（0﹣2）2＝5＜25， 所以点A在圆C内，故直线l恒与圆C相交，故有两个交点． 故选：C． 【知识点2】圆的切线方程 1．圆的切线方程 (1)直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点． (2)几何法：圆心到直线的距离等于半径，即． (3)代数法：，方程组有一组不同的解． 2．求过某点的圆的切线方程 (1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆连线的斜率k，则由垂直关系得切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0． (2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线方程时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程．但要注意，若求出的k值只有一个时， ... ...