3.1 椭圆 【知识点1】椭圆的定义 1 【知识点2】椭圆的标准方程 2 【知识点3】椭圆的几何性质 3 【知识点4】椭圆的离心率 5 【知识点5】直线与椭圆 6 1.理解椭圆的定义(重点)。 2.掌握椭圆的标准方程与几何性质(重难点)。 3.会求椭圆的离心率(重点)。 【知识点1】椭圆的定义 1．椭圆的概念 (1)在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>2c)． 2．椭圆定义的应用 (1)椭圆定义的应用：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题。 【例1】（2025春 亳州校级期末）已知椭圆的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【例2】（2024秋 朝阳校级期末）已知椭圆C：，的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|+|PF|的最大值为（ ） A． B．5 C． D． 【例3】（2025春 南宁期末）椭圆的两个焦点为F1，F2，P为椭圆C上与两焦点不共线的一点，则△PF1F2的周长为 ． 【例4】（2024秋 武强县校级期末）设椭圆的左，右焦点是F1，F2，离心率为，上顶点坐标为． （1）求椭圆的方程； （2）设P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求焦点三角形F1PF2的周长和面积． 【知识点2】椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 (1)焦点在轴，． (2)焦点在轴，． 2．待定系数法求椭圆的标准方程 (1)作判断：根据条件判断焦点的位置． (2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程 例1： 【例5】（2025春 徐汇区校级期中）“1＜m＜3”是“方程表示椭圆”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例6】（2025 仁寿县校级三模）已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【例7】（2025 赤峰模拟）经过点P（﹣4，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程为 ． 【例8】（2024秋 科左中旗校级期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）b＝1，，焦点在y轴上． （2）a＝10，c＝6． （3）经过点，Q（0，2）两点． 【知识点3】椭圆的几何性质 椭圆的几何性质 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 顶点 A1(－a,0), A2(a,0), B1(0,－b), B2(0,b) A1(0,－a), A2(0,a), B1(－b,0), B2(b,0) 轴长 长轴长2a, 短轴长2b 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1), a,b,c关系 a2＝b2+c2 例1： 【例9】（2025 石景山区校级模拟）已知椭圆的焦点在x轴上，点P（1，1），则（ ） A．P在C外 B．C的长轴长为 C．P在C内 D．C的焦距为2b 【例10】（2024秋 台州期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（ ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为， C．椭圆关于直线y＝x对称 D．当点（x0，y0）在椭圆上时， 【例11】（多选）（2024秋 东坡区期末）若椭圆的焦距为2，则t＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．5 【例12】（2025 渭南三模）已知椭圆的一个焦点的坐标是（2，0），则实数m的值为 ． 【知识点4】椭圆的离心率 椭圆的离心率 (1)e＝∈(0,1)，a2＝b2+c2． (2)根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． (3)较多时候利用解题。 例1： 【例13】（2025春 江西月考）已知椭圆C的方程为，则椭圆C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【例14】（多选） ... ...
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