3.2 双曲线 【知识点1】双曲线的定义 1 【知识点2】双曲线的标准方程 4 【知识点3】双曲线的几何性质 6 【知识点4】双曲线的离心率 9 【知识点5】直线与双曲线 12 【知识点6】双曲线的实际应用 16 1.理解双曲线的定义(重点)。 2.掌握双曲线的标准方程与几何性质(重难点)。 3.掌握双曲线离心率的求解(重点)。 【知识点1】双曲线的定义 双曲线的定义 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程． (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系。 【例1】（2024秋 通州区期中）方程的化简结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义可解． 【解答】解：根据题意可得，方程的几何意义为： 平面上一点到两定点（，0），（，0）的距离之差的绝对值为4， 则a＝2，c，则a2＝4，b2＝2， 则根据双曲线的定义可得标准方程为． 故选：A． 【例2】（2025春 五华区校级期中）已知F1，F2是平面内两个不同的定点，则“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案． 【解答】解：当||PF1|﹣|PF2||＜|F1F2|时， 动点M的轨迹才是双曲线，故充分性不成立； “点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点， 且满足||PF1|﹣|PF2||为定值|，故必要性成立， 综上所述，“||MF1|﹣|MF2||为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的必要不充分条件． 故选：B． 【例3】（2025春 河南月考）双曲线上的点A到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ） A．9 B．7 C．9或29 D．7或19 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义来求解点A到左焦点的距离． 【解答】解：对于双曲线，可得a＝5． 设双曲线的左右焦点分别为F1，F2， 因为|AF2|＝19． 根据双曲线的定义||AF1|﹣|AF2||＝2a＝10，则有||AF1|﹣19|＝10． 可得|AF1|﹣19＝10或|AF1|﹣19＝﹣10． 当|AF1|﹣19＝10时，|AF1|＝10+19＝29； 当|AF1|﹣19＝﹣10时，AF1＝﹣10+19＝9． 所以点A到左焦点的距离为9或29． 故选：C． 【例4】（2024秋 驻马店期中）已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线C的右支上，M为线段FP的中点，若M到坐标原点的距离为6，则|PF|＝（ ） A．6或18 B．18 C．8或20 D．22 【答案】B 【分析】根据中位线性质可得|PF′|＝2|OM|，利用双曲线的定义可得|PF|． 【解答】解：双曲线的左焦点为F，设双曲线的右焦点为F′，连接PF′． 由题意得a＝3， ∵M为线段FP的中点，O为线段FF′的中点，∴|PF′|＝2|OM|＝12， 由双曲线定义得|PF|﹣|PF′|＝2a＝6，故|PF|＝18． 故选：B． 【知识点2】双曲线的标准方程 1．双曲线的标准方程 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 2．双曲线标准方程的求解 (1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，不能确定时应分类讨论． (2)设方程：根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n<0)． (3)寻关系：根据已知条件列出关于a、b(或m、n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将a、b、c(或m、n)的值代入所设方程即为所求 例1： 【例5】（2025 河北模拟）已知焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据渐近线的斜率，以及双曲线方程的性质，即可求解． 【解答】解：因为焦距为的双曲线的一条渐近线与直线x﹣3y+2＝0垂直， 所以，且，a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝36， 所以双曲线方程． 故选：C． 【例6】（2025 ... ...
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