4.1.2　指数幂的拓展 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

4．1.2　指数幂的拓展 1. 通过对有理数指数幂、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程. 2. 理解分数指数幂的含义． 3. 能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化. 活动一 分数指数幂 ，，，…，它们的值分别为，，，…，那么，，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识． 思考1 整数指数幂的运算性质有哪些？ 思考2 零和负整数指数幂是如何规定的？ 思考3 观察下面的变形：(25)2＝210，得＝25.又由5＝，得＝2. 类似地，可以得到＝3，＝3…… 从以上式子中，你能总结出怎样的规律？ 一般地，我们规定a＝ (a＞0，m，n∈N*，n>1).这就是正数a的正分数指数幂的意义．由此可知，2的意义为2＝. 仿照负整数指数幂的意义，我们规定a－＝(a＞0，m，n∈N*，n>1)，且0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 思考4 规定了分数指数幂的意义后，指数幂的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？ 例1　求下列各式的值： (1) 100；　　　　　　(2) 8； (3) 9－； (4) . 求下列各式的值： (1) 27； (2) 25－； (3) ； (4) . 在进行求解时，首先要将比较大的整数化成比较小的整数的指数幂的形式，还要熟练掌握分数指数幂的运算性质，化负指数为正指数，同时还要注意运算的顺序问题． 活动二　用分数指数幂表示根式　 例2　用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)： (1) a2；　　(2) ；　　(3) . 用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0)：a3·；a2·；. 思考5 我们已将指数式ax中的指数x从整数推广到分数(有理数)，是否还可以将指数推广到无理数呢？例如，“2”有意义吗？ 活动三　分数指数幂的应用　 例3　化简下列各式(a＞0，b＞0)： (1) ÷； (2) . 一般地，进行指数幂运算时，可按系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的． 化简下列各式(a>0)： (1) ； (2) ÷. 例4　求下列各式的值： (1) ＋2-2×(2.25)－－； (2) (0.064)－－＋[(－2)3]－＋16-0.75＋|－0.01|. 计算下列各式的值： (1) (0.008 1)－÷－10×0.027； (2) 1.5－×＋80.25×＋(×)6－. 1. 式子中既含有分数指数幂，又含有根式时，为了方便计算应该把根式统一化成分数指数幂的形式，再根据运算性质运算． 2. 对于计算结果，并不强求用统一的形式来表示，如果没有特别的要求，一般用分数指数幂的形式表示，但结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分数又含有负指数． 活动四　条件求值问题　 例5　已知a2x＝＋1，求的值． 已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a0，则的分数指数幂形式为(　　) A. a B. a C. a3 D. a 3. (多选)(2024上饶扬帆中学月考)下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是(　　) A. ＝y B. y－＝(y>0) C. x－＝－(x≠0) D. []＝x(x>0) 4. (2024南京期中)设a>0，若－＝，则a＋a－的值是_____． 5. (2024耒阳一中期中) (1) 求(1.5)-2＋－π0－的值； (2) 已知10α＝3，10β＝4，求10α＋β及10α－的值． 4．1.2　指数幂的拓展 【活动方案】 思考1：①am·an＝am＋n；②(am)n＝amn； ③＝am－n(a≠0)；④(a·b)m＝am·bm. 思考2：规定：a0＝1(a≠0)；00无意义， a－n＝(a≠0). 思考3：这表明，当m被n整除时，就有＝a(a＞0，m，n∈N*，n>1). 思考4：由于整数指数幂、分数指 ... ...