5.1 函数的概念和图象 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

5．1　函数的概念和图象 5.1.1　函数的概念和图象(1) 1. 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2. 了解构成函数的要素有定义域、对应关系、值域，会求简单函数的定义域. 活动一 探究函数的概念 初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质. 对于y＝1(x∈R)是不是函数，如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强，但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然. 因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要． 1. 人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据. 从中国统计年鉴中可以查得我国1979～2014年人口数据资料(年末)如下表所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？ 1979～2014年我国人口数据表 年份 1979 1984 1989 1994 1999 2004 2009 2014 人口数/百万 975 1 044 1 127 1 199 1 258 1 300 1 335 1 368 2. 一物体从静止开始下落，下落的距离 y(单位：m)与下落时间x(单位：s)之间近似地满足关系式y＝4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？ 3. 下图为某市一天24小时内的气温变化图． (1) 上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？ (2) 在什么时刻，气温为0℃？ (3) 在什么时段内，气温在0℃以上？ 思考1 这三个问题有什么共同点？ 思考2 如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同点？ 思考3 如何用集合语言和对应关系刻画函数？ 思考4 函数f：A→B的值域为C，那么集合B＝C吗？ 1. 函数是非空数集到非空数集上的一种对应． 2. 符号“f：A→B”表示从A到B的一个函数，它有三个要素：定义域、值域、对应关系，三者缺一不可． 3. 集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性． 4. f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样． 5. f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积． 6. 在研究函数时，除用符号f(x)表示函数外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示． 活动二　探究函数的定义，掌握函数的判定　 例1　判断下列对应是否为函数： (1) x→，x≠0，x∈R； (2) x→y，其中y2＝x，x∈N，y∈R； (3) 当x为有理数时，x→1；当x为无理数时，x→0. 判断下列对应是否为集合A到B的函数，若不是，请说明原因． (1) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8，10}，f：x→2x； (2) A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，f：x→2x； (3) A＝{1，2，3，4，5}，B＝N，f：x→2x. 判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x的值对应两个或两个以上的y值． 活动三 同一函数的判断　　 思考5 定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？ 例2　试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1) f(x)＝|x|，g(t)＝； (2) f(x)＝，g(x)＝x＋2； (3) f(x)＝x，g(x)＝； (4) f(x)＝x，x∈[0，1]，g(x)＝x2，x∈[0，1]. 试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1) f(x)＝，g(x)＝； (2) f(x)＝()2，g(x)＝； (3) y＝x0与y＝1(x≠0)； (4) y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z. 1. 判断两个函数是同一函数的准则是两个函数的定义域和对应关系分别相同． 2. 如果要判断的函数较为复杂，在定义域相同的条件下，可先化简再比较． 活动四 探究函数的定义域　　 例3　求下列函数的定义域： (1) f(x)＝； (2) g(x)＝. 求下列函数的定义域： (1) y＝2x＋3； (2) f(x)＝； (3) y＝＋； (4) y＝. 函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合．函 ... ...