6.2 指数函数 学案（含答案） 2025-2026学年高一数学苏教版（2019）必修第一册

6．2　指 数 函 数 6.2.1　指数函数(1) 1. 了解指数函数模型的实际背景，认识学习指数函数的必要性． 2. 理解指数函数的含义. 3. 能借助计算器或计算机画出指数函数的图象，探索并理解指数函数的性质. 4. 能运用指数函数的单调性比较两个指数式值的大小． 活动一 指数函数的概念 印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明者．这位聪明的大臣说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内赏给我两粒，在第三个小格内赏给我四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍，直到摆满棋盘上的64格．”国王说：“你的要求不高，会如愿以偿的．”于是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了. 还没到第二十小格，袋子就已经空了．一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快看出，即使拿出全印度的粮食，国王也兑现不了他对国际象棋发明者许下的诺言．想一想，共需要多少粒麦子？ 思考1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，…，一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为y，则y与x的函数关系是什么？ 思考2 从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花．这些古莲子是多少年以前的产物呢？要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在动植物体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半. 若14C的原始含量为1，经过x年后的残留量为y，则 y与x的函数关系是什么？ 思考3 庄子曰：一尺之捶，日取其半，万世不竭(“捶”同“棰”). 设经过的天数为x(天)，木棰剩余的长度为y(尺)，则y与x的函数关系是什么？ 思考4 函数y＝2x，y＝0.999 879x, y＝具有什么共同特征？ 一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域为R. 思考5 指数函数定义中为什么规定了a>0，a≠1 思考6 函数y＝2x和函数y＝x2有什么区别？ 例1　在下列关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ (1) y＝2x+2；　　　　　(2) y＝(－2)x； (3) y＝－2x; (4) y＝πx； (5) y＝x2； (6) y＝(a－1)x(a>1，a≠2). 根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1.指数为自变量x，其系数也为1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数. (1) 已知指数函数的图象经过点P(－1，3)，则f(3)＝_____； (2) 已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝_____． 活动二 指数函数的图象与性质 分别在同一平面直角坐标系内画出y＝2x与y＝的图象(如图1)及y＝3x与y＝的图象(如图2)，通过观察具体的指数函数的图象，归纳、抽象出y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质. 图1 图2 思考7 图象分布在哪几个象限？这说明了什么？ 思考8 猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ 思考9 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ 思考10 函数y＝2x与y＝的图象及函数y＝3x与y＝的图象有什么关系？ 指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质： a>1 00，a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可． 当a>0，a≠1时，函数f(x)＝ax-2－3的图象必过定点_____． 活动三　指数函数的图象与性质的应用　 例3　比较下列各组数中两个值的大小： (1) 1.52.5，1.53.2； (2) 0.5-1.2，0.5-1.5； (3) 1.50.3，0.81. ... ...