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课件网) 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 探究点一 求离散型随机变量的均值 探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用 探究点三 离散型随机变量均值的实际应用 【学习目标】 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质. 2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题. 知识点一 离散型随机变量的均值 1.概念 一般地，若离散型随机变量 的分布列为 … … 则称_____为随机变量 的均值 或数学期望（简称期望）. 2.意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的_____，它综合了 随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的_____. 加权平均数 平均水平 3.性质 若，其中，为常数， 是随机变量，则 （1） 也是随机变量； （2） _____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）随机变量的均值是个变量，其随 的变化而变化.( ) × （2）随机变量的均值反映样本的平均水平.( ) × （3）若随机变量的均值，则 .( ) √ （4）随机变量的均值 .( ) × 知识点二 两点分布的均值 一般地，如果随机变量 服从两点分布，那么 ___. 探究点一 求离散型随机变量的均值 例1 盒中装有5节同品牌的5号电池，其中混有2节废电池.现在无放 回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 的分 布列及均值. 解：的可能取值为1,2,3，， ， ，所以抽取次数 的分布列为 1 2 3 . 变式 一个车间有3台机床，它们各自独立工作，其中 型机床2台， 型机床1台.型机床每天发生故障的概率为， 型机床每天发生 故障的概率为0.2.记为每天发生故障的机床数，求 的分布列及期 望 . 解： 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ，所以 的分布列为 0 1 2 3 0.648 0.306 0.044 0.002 . ［素养小结］ 求离散型随机变量的均值的一般步骤： （1）确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的 取值； （2）求概率：计算出 ； （3）写分布列：写出 的分布列； （4）求均值：利用的计算公式计算 . 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在. 探究点二 离散型随机变量的均值性质及应用 例2 已知随机变量 的分布列为 0 1 2 （1）求 的值； 解：由随机变量分布列的性质，得 ，解得 . （2）求 ； 解： . （3）若，求 . 解：方法一（公式法）：由公式 ，得 . 方法二（直接法）：因为，所以 的分布列为 1 所以 . 变式 已知随机变量，满足，的期望， 的 分布列为 0 1 则( ) A., B., C., D., √ [解析] 依题意得 , ,解得 , 又, .故选A. ［素养小结］ 若给出的随机变量与的关系为，， 为常数，则求 有两种思路： （1）先求出，再利用公式求 . （2）利用的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算 的取 值，对应的概率相等，再由定义法求得 . 探究点三 离散型随机变量均值的实际应用 例3 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、 二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获 得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元.以 频率估计概率，设生产1件产品的利润为 万元. （1）求 的分布列. 解：的所有可能取值为6,2,1，， ， ， ，, 故 的分布列为 6 2 1 0.63 0.25 0.1 0.02 （2）求生产1件产品的平均利润. 解： ,即 生产1件产品的平均利润为4.34万元. （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一 等品率提高为 .若此时要求生产1件产品的平均利润不小于4.73万 元，则三等品率最高是多少？ 解：设技术革新后的三等品率为 ，则此时生产1件产品的平均利润 为 （万元），其中， 依题意得 ，解得，所以三等品率最高是 . 变式 某人有10万元 ... ...
