本章总结提升 【知识辨析】 1.× [解析] 分步乘法计数原理中的任何一步都不能单独完成这件事. 2.√ 3.√ [解析] 根据题意,将4本不同的书平均分给甲、乙2人,每人得2本,分两步进行分析:①在4本书中任选2本,分给甲,有=6(种)分法;②剩下的2本分给乙,有1种分法.则共有6种不同的分法. 4.√ 5.× [解析] 若=(x≤n,m≤n),则x=m或x=n-m. 6.× [解析] 根据题意,分两步进行分析:①将2,4,5,6四个数全排列,有=24(种)排法;②四个数排好后,有五个空位,在五个空位中任选两个,安排1和3,有=20(种)排法.故共有24×20=480(个)符合题意的六位数. 7.× [解析] 令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=96,两式相加得2a0+2a2+2a4+2a6=96,所以a0+a2+a4+a6=48. 8.√ 【素养提升】 题型一 例1 (1)B (2)24 112 [解析] (1)分两类:第1类,甲企业有1人发言,有2种情况,另2个发言人来自其余4家企业,有=6(种)情况,由分步乘法计数原理知,有2×6=12(种)情况;第2类,3人全来自其余4家企业,有4种情况.综上可知,共有12+4=16(种)情况. (2)在4×4方格表中选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有4!=24(种)选法.选中方格中的4个数的十位数字一定分别是1,2,3,4,所以只需比较个位数字,故选中方格中的4个数之和的最大值是15+43+33+21=112. 变式 D [解析] 5日至9日,有3天奇数日,2天偶数日.第一步,安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有23=8(种)选择.第二步,安排偶数日出行,分两类:第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2×2=4(种)选择;第二类,不安排甲的车,每天都有2种选择,有22=4(种)选择.共有4+4=8(种)选择.根据分步乘法计数原理,不同的用车方案种数为8×8=64.故选D. 题型二 例2 (1)AD (2)60 [解析] (1)对于A,将4个空位看成一个整体,则符合题意的坐法有=120(种),故A正确;对于B,先排4名学生,有种方法,然后将3个相邻的空位看成一个整体,和另一个空位插入由4名学生形成的5个空档中,有种方法,则符合题意的坐法有=480(种),故B错误;对于C,先排4名学生,有种方法,4个空位是一样的,然后将4个空位插入由4名学生形成的5个空档中,有种方法,则符合题意的坐法有=120(种),故C错误;对于D,至多有2个相邻,即均不相邻或者有2个相邻,由C可知均不相邻的坐法有120种,又空位2个2个相邻的坐法有=240(种),空位只有2个相邻的坐法有=720(种),所以符合题意的坐法有120+240+720=1080(种),故D正确.故选AD. (2)1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类.分三类:①当没有数字1和3时,满足条件的三位数有个;②当只有1和3中的一个时,满足条件的三位数有2个;③当同时有1和3时,把3排在1的前面,再从其余4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可,满足条件的三位数有·个.所以满足条件的三位数共有+2+·=60(个). (3)解:①先将五名学生“捆绑”在一起看作一个整体与五位老师全排列,有种排法,再将五名学生全排列,有种排法,故共有·=86 400(种)排法. ②先将五位老师全排列,有种排法,再将五名学生排在五位老师产生的六个空位上,有种排法,故共有·=86 400(种)排法. ③老师和学生相间隔的排法有两类,老师在排头或学生在排头,共有2·=28 800(种)排法. 变式 (1)C (2)C (3)C [解析] (1)将《周髀算经》《九章算术》这2本书看成一个整体,考虑两者的顺序,有2种情况,再将这个整体与其他3本书全排列,有=24(种)情况.故共有2×24=48(种)不同的排法,故选C. (2)将3名医生平均分配到三家医院,有=6(种)方法,将6名护士按要求平均分配到三家医院,有·=18(种)方法,所以不同的分配方法有6×18=108(种).故选C. (3)根据题意,在符合条件的三位数中,有两个1且百位数字是1的三位数有×2=18(个),百位数字是1且1不是重复数字的三位数有100,122,133,144,155,166,177,188,199,共9个, ... ...
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