第07讲 角平分线的性质与判定 讲义（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 第06讲 角平分线的性质与判定 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 【题型1：角平分线的性质定理的应用】 【典例1】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，则的面积是（　　） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，角平分线的性质定理的运用，理解尺规作角平分线，掌握角平分线的性质定理的运用是关键． 过点D作于点E，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ） A．5 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，找到取最小值的情况，进而求解．本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点， ∴当时，的值最小，此时． ∵， ∴的最小值为． 故选：． 【变式2】如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线交于点D，交于点E，若，则的长度为（ ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质．利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，再计算出，再利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ， ， ， ∴， ∵，，， ∴． 故选：C． 【变式3】如图，是中的角平分线，于点E，，则长是（ ）． A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练应用角平分线的性质定理是解题的关键．过D作于F，根据角平分线性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ， ∵， ， ， ， 解得：． 故选：B． 【题型2：角平分线的性质在实际中的应用】 【典例2】如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（ ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 【变式1】某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（ ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 【变式2】如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，要求油库到这三条公路（）的距离都相等，则油库的位置可以设计在（ ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【 ... ...