6．3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 1．定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_____向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ ．其实就是向量分解，平行四边形法则的逆运算． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_____的一个基底． 【微点拨】 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． (2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值． (3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0. (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 【即时练习】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)只有非零向量才能用平面内的一个基底{e1，e2}线性表示．( ) (2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．( ) (3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这个基底唯一表示．( ) 2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_____． 6．3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 一、平面向量的正交分解及坐标表示 1．向量的正交分解 把一个向量分解为两个_____的向量，叫做把向量作正交分解． 2．向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个_____分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_____叫做向量a的坐标，记作a＝_____，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．向量a的坐标(x，y)可以看作是向量x的缩写． 3．向量与坐标的关系 设＝xi＋yj，则向量的坐标_____就是终点A的坐标；反过来，终点A的_____(x，y)就是向量的坐标． 因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是_____的．平面向量与有序实数对的一一对应关系． 【微点拨】 (1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直． (2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 【即时练习】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 2．平面直角坐标系中，的坐标( ) A．与点B的坐标相同 B．与点B的坐标不相同 C．当A与原点O重合时，与点B的坐标相同 D．当B与原点O重合时，与点A的坐标相同 二、平面向量加、减运算的坐标表示 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 符号表示 向量加法 a＋b＝_____ 向量减法 a－b＝_____ 2.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝_____． 【微点拨】 (1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去起点坐标即可得到该向量的坐标． (2)求一个点的坐标时，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． 【即时 ... ...
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