2.2《基本不等式》课时教案（含答案）-2025--2026年人教A版高中数学必修第一册

2.2《基本不等式》课时教案 学科 数学 年级册别 高一上册 共1课时 教材 新课标人教A版必修第一册 授课类型 新授课 第1课时 教材分析 教材分析 本节课选自人教A版高中数学必修第一册第二章《等式与不等式》中的第2.2节“基本不等式”。它是不等式体系中的核心内容之一，是后续学习函数最值、线性规划、导数应用的重要基础。教材通过几何直观引入代数结论，体现了数形结合的思想，强调从特殊到一般的归纳过程，帮助学生建立严谨的逻辑推理意识。 学情分析 高一学生已具备一定的代数运算能力和初步的逻辑推理能力，对不等式的性质已有基本掌握。但抽象思维仍处于发展阶段，面对“为什么成立”“如何应用”等问题容易产生困惑。此外，部分学生缺乏将实际问题转化为数学模型的能力。因此，教学中需借助生活情境激发兴趣，通过层层设问引导探究，强化思维训练，突破理解难点。 课时教学目标 观察现实世界 1. 能从矩形面积与周长关系、平均速度等生活实例中抽象出两个正数的算术平均数与几何平均数之间的大小关系。 2. 能识别并描述基本不等式在现实生活中的典型应用场景，如成本控制、资源分配、效率优化等问题。 思考现实世界 1. 能通过代数推导和几何解释两种方式理解基本不等式 （ ）的成立条件与取等号的充要条件。 2. 能运用“作差法”进行严格的代数证明，并能结合图形（半圆直径上的垂线段）解释其几何意义。 表达现实世界 1. 能准确书写基本不等式及其变形形式，并规范使用“当且仅当 时取等号”的表述语言。 2. 能用基本不等式解决简单的最值问题，如求和最小或积最大，并能清晰地写出解题步骤与逻辑推理过程。 数学建模意识 1. 能将实际问题中的数量关系提炼为两个正数之和或积的形式，构造适用基本不等式的结构。 2. 能在解决问题过程中体会“一正二定三相等”的使用原则，提升数学建模与逻辑表达能力。 教学重点、难点 重点 1. 掌握基本不等式 的内容、适用条件及取等条件。 2. 理解基本不等式的几何解释与代数证明方法。 难点 1. 深刻理解“当且仅当 时取等号”的含义及其在最值问题中的关键作用。 2. 在实际问题中灵活构造符合基本不等式使用条件的代数结构，尤其是“配凑定值”的技巧。 教学方法与准备 教学方法 情境探究法、合作探究法、讲授法、启发式教学 教具准备 多媒体课件、几何画板动画、黑板、粉笔、学习任务单 教学环节 教师活动 学生活动 情境导入：赵爽弦图中的智慧 【5分钟】 一、文化启思，引出主题 （一）、展示赵爽弦图，讲述历史背景。 教师利用PPT动态呈现中国古代数学家赵爽在《周髀算经》注释中提出的“弦图”，该图由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间形成一个小正方形。引导语：“同学们，这幅精妙的‘弦图’不仅是中国古代智慧的象征，更蕴含着深刻的数学思想。赵爽曾用它来证明勾股定理，而今天我们要从中挖掘另一个重要结论———关于两个量之间大小关系的秘密。” 接着提问：“如果每个直角三角形的两条直角边分别为 和 （不妨设 ），那么整个大正方形的边长是多少？面积呢？中间小正方形的边长又是多少？” 等待学生回答后，继续追问：“你能比较四个直角三角形的总面积与中间小正方形面积的大小吗？这个比较结果能否揭示出 和 的某种平均值之间的关系？” 通过一步步引导，使学生意识到：四个三角形总面积为 ，大正方形面积为 ，中间小正方形面积为 ，从而得到恒等式： 移项可得： 即： 两边开方（注意非负性）得： 最终整理为： 教师总结：“这就是我们今天要深入研究的基本不等式！它告诉我们：两个正数的算术平均数总是不小于它们的几何平均数。” （二）、明确课题，板书标题。 教师在黑板中央工整书写本节课课题：“§2.2 基本不等式”，并在下方写下核心公式： 同时标注 ... ...