高中数学人教A版（2019）必修第一册 2.1 等式性质与不等式性质 举一反三 (原卷版+解析版)

2.1 等式性质与不等式性质 【题型1】用不等式(组)表示不等关系 3 【题型2】作差法比较大小 4 【题型3】重要不等式 6 【题型4】等式性质与不等式的性质 7 【题型5】利用不等式的性质证明不等式 8 【题型6】利用不等式的性质求代数式的取值范围 9 一、用不等式(组)表示不等关系 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤ 二、作差法比较大小 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么ab a-b>0； a=b a-b=0； ab bb，b>c a>c不可逆3可加性a>b a+c>b+c 4可乘性a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 acb，c>d a+c>b+d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0 ac>bd同向 同正7可乘方性a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)同正 1.(1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 2.利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. 3.(1)若a>b>0，则0<<； 若a>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘，没有减法和除法运算. 【题型1】用不等式(组)表示不等关系 （2023秋 曲阜市月考）下列说法正确的是　　 A．某人月收入不高于2000元可表示为“” B．某变量不超过可表示为“” C．某变量至少为可表示为“” D．小明的身高，小华的身高，则小明比小华矮表示为“” 【答案】 【分析】根据数量的大小关系，判断不等式使用是否正确，选出正确答案． 【解答】解：对于，某人收入不高于2000元可表示为，错误； 对于，变量不超过可表示为，正确； 对于，变量至少为可表示为，错误； 对于，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，错误． 故选：． 方法点拨 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式. 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 【变式1】大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车和货的总重量满足关系为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024春 霍邱县期中）某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要想安全通过隧道，应使车载货物高度满足关系为　　 A． B． C． D． 【变式3】某市环保局为增加城市的绿地面积，提出两个投资方案： 方案为一次性投资500万元； 方案为第一年投资5万元，以后每年都比前一年增加10万元， 列出不等式表示“经年之后，方案的投入不少于方案的投入”． 【题型2】作差法比较大小 （2025春 高新区月考）设，，则　　 A． B． C． D．与的大小与有关 【答案】 【分析】根据作差法比较大小即可． 【解答】解：因为， 所以． 故选：． 方法点拨 作差法比较两个实数大小的基本步骤 【变式1】（2025春 绵阳月考）已知，，则与的大小关系为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024秋 固始县期末）已知，，则　　 A． B． C． D．，的大小与有关 【变式3】（2024秋 浏阳市期末）若，，则与的关系是　　 A． B． C． D．与的值有关 【题型3】重要不等式 （2024秋 黄陵县期中）不等式中等号成立的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】利用配方法等价转化原不等式，进而可知时等号成立． 【解答】解：， 等价于， 当且 ... ...