2.2 基本不等式 【题型1】基本不等式的证明与理解 2 【题型2】利用基本不等式求简单式子的最值 5 【题型3】配凑法求最值 7 【题型4】巧用“1”的代换求最值问题 9 【题型5】分离消元法求最值 11 【题型6】利用基本不等式证明不等式 13 一、基本不等式的证明与理解 (1)如果a>0，b>0，则，当且仅当a=b时，等号成立. (2)其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. (3)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”. 【题型1】基本不等式的证明与理解 下列说法中正确的有 （填序号）． ①对任意，，， 均成立； ②若，则； ③若，，，则的最小值为2． 【答案】③． 【分析】根据已知条件，结合特殊值法，以及基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：对于①，当，时，不满足，故①错误； 对于②，当时，不成立，故②错误； 对于③，，，， 则，即，当且仅当，即时，等号成立，故③正确． 故答案为：③． 方法点拨 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足. 【变式1】（2024秋 雁塔区期中）下列命题中正确的是 A．若，，且，则 B．若，则 C．若，，则 D．对任意，，均成立 【答案】 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：选项，若，，，则，当且仅当时等号成立，选项正确． 选项，当时，，选项错误． 选项，当，时，，选项错误． 选项，当，时，，不成立，所以选项错误． 故选：． 【变式2】（2023秋 永安市期中）下列命题中正确的是 A．对任意，，、均成立 B．若，则 C．若，，则 D．若，，且，则 【答案】 【分析】根据重要不等式和基本不等式的成立条件判断选项的正误． 【解答】解：对于，当，时，才能成立，错误； 对于，当时才能使用基本不等式求最大值，错误； 对于，因为，所以，即，正确； 对于，，，所以，正确． 故选：． 【变式3】（2023秋 双流区月考）下列结论表述不正确的是 A．若，，则恒成立 B．若，，则成立 C．若，，则恒成立 D．函数的最小值为3 【答案】 【分析】根据基本不等式的性质判断、、、的结论． 【解答】解：对于选项，若，，则，恒成立，故正确， 对于选项：对于转换为，，，，，故正确， 对于选项，若，则，若，则，若，则无意义，故错误， 对于选项，，则，， 当且仅当，即时等号成立，因此的最小值是5，故错误． 故选：． 【题型2】利用基本不等式求简单式子的最值 （2025 上海模拟）设，则下列选项中正确的是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式的条件检验各选项即可求解． 【解答】解：当时，显然错误； 因为，当且仅当时取等号，正确； 当时，错误； 当时，错误． 故选：． 方法点拨 利用基本不等式求最值的注意点 (1)一正：各项必须为正. (2)二定：各项之和或各项之积为定值. (3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 【变式1】（2025 广东模拟）已知，且，则的最小值为 A．4 B．6 C． D．8 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值． 【解答】解：，且，则， 当且仅当，即，时取等号， 所以当，时，的最小值为8． 故选：． 【变式2】（2025 郴州模拟）函数的最小值为 A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由题意可得，注意等号成立的条件即可． 【解答】解：，， 当且仅当即时取等号， 故函数的最小值为：8 故选：． 【变式3】（2025春 内蒙古期末）的最小值为 A． B． C．6 D．24 【答案】 【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可． 【解答】解：因为， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：． 【题型3】配凑法求最值 （2025春 金安区月考）已知，则 ... ...
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