3.1.1 第2节课 函数的概念 【题型1】抽象函数的定义域 2 【题型2】由定义域求解函数或参数 4 【题型3】简单函数的值域 6 【题型4】抽象函数的值域 8 【题型5】由值域求解函数或参数 10 已学函数的定义域和值域 (1)一次函数y=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为R，值域是B，当a>0时，B=；当a<0时，B=. (3)反比例函数y=(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}. 常见误区： (1)不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域. (2)求函数值域时忽略函数的定义域. 【题型1】抽象函数的定义域 （2024秋 张掖月考）（1）设函数的定义域为，，求下列函数的定义域： ①；②． （2）函数的定义域是，，求函数的定义域． 【答案】（1）①，；②，；（2）． 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可． （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可． 【解答】解：（1）①由已知，得，解得，故的定义域为，． ②由已知，得，解得，故的定义域为，． （2）先求的定义域： 因为的定义域是，，所以， 所以，即的定义域是，． 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是． 方法点拨 无具体解析式，仅已知、等的定义域，需求另一抽象函数（如）的定义域，核心是“括号内整体的取值范围一致”． 类型1：已知的定义域，求的定义域： 核心原则：的定义域是“的范围”，也是中“的范围”（括号内整体范围相同）； 解题步骤： 写出的定义域：设为； 令中括号内的，建立不等式； 解不等式，得到的的范围即为的定义域； 类型2：已知的定义域，求的定义域： 核心原则：的定义域是“的范围”，需先求“的范围”，该范围即为的定义域（括号内整体范围是的自变量范围）； 解题步骤： 写出的定义域：设为； 求在上的取值范围（即的值域），设为[c,d]； [c,d]即为的定义域； 类型3：已知的定义域，求的定义域： 解题步骤：先按“类型2”求的定义域，再按“类型1”求的定义域（分两步传递范围）； 关键提醒：抽象函数的定义域始终是“自变量的范围”，而非括号内表达式（如的定义域是的范围，不是的范围）． 【变式1】（2025 山西模拟）已知函数的定义域是，，则的定义域是 A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2025春 廊坊期中）若函数的定义域是，，则函数的定义域是 A．， B．， C．， D．， 【变式3】（2025 汉川市模拟）已知函数的定义域为，，则的定义域为 A．， B．， C．， D．， 【题型2】由定义域求解函数或参数 （2024秋 资阳期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 A．， B． C．， D．，， 方法点拨 已知函数的定义域，反求函数解析式中的参数（如的定义域为，求、的范围），或根据定义域确定函数的具体形式． 求参数的解题步骤： 第一步：根据函数类型列出定义域的限制条件（如分式分母不为0、偶次根式被开方数非负等），得到关于的不等式（如对任意恒成立）； 第二步：分析不等式的类型（一次不等式、二次不等式），结合定义域的已知条件（如“定义域为全体实数”“定义域为”）建立关于参数的方程或不等式； 若为二次不等式（如）： 定义域为且：需（二次函数开口向上且与轴无交点或相切）； 定义域为特定区间（如）：则二次方程的根为和，结合韦达定理求参数； 第三步：解关于参数的方程或不等式，得到参数的取值范围（注意验证参数是否使函数有意义，如二次项系数时需单独讨论是否为一次函数）； 确定函数形式的解题步骤： 根据定义域的限制，排除不符合的函数类型（如定义域不含，排除（定义域为），可能为分式函数）； 结合已知条件（如函数为一次函数、二次函数）设出解析式，代入定义域的限制条件，确定解析式中的系数（如一次函数，定义域为，则需，且无其他限制时，、满足 ... ...
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