3.2.2 奇偶性 【题型1】函数奇偶性的判断 2 【题型2】奇、偶函数的图象及应用 4 【题型3】利用函数的奇偶性求值 6 【题型4】根据函数的奇偶性求函数的解析式 8 【题型5】利用函数的奇偶性与单调性比较大小 9 【题型6】利用函数的单调性与奇偶性解不等式 11 一、函数奇偶性的判断 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小 1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同). 2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 3.若f(x)为奇函数且在区间[a，b]上有最大值为M，则f(x)在[-b，-a]上有最小值为-M. 4.若f(x)为偶函数且在区间[a，b]上有最大值为N，则f(x)在[-b，-a]上有最大值为N. 1.(1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)先判断定义域是否关于原点对称，对于 x∈D，都有-x∈D，即定义域关于原点对称，还需判断f(-x)与f(x)的关系，若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数，若f(-x)=-f(x)，则函数是奇函数，若f(-x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数. (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称，反之也成立. (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)=0. (5)若f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数. 【题型1】函数奇偶性的判断 （2025春 历城区期末）下列函数中，既是奇函数又是增函数的是 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于，，是一次函数，不是奇函数，不符合题意； 对于，，是反比例函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意； 对于，，是幂函数，既是奇函数又是增函数，符合题意； 对于，，是二次函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意； 故选：． 方法点拨 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： 【变式1】（2025 河北模拟）下列函数不是偶函数的是 A． B． C． D． 【变式2】（2025春 盐城期末）函数的奇偶性为 A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 【变式3】（2025 郴州模拟）下列函数中，是奇函数的是 A． B． C． D． 【题型2】奇、偶函数的图象及应用 （2024秋 双桥区期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示． （1）请补全函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递增区间； （3）根据图象写出使的的取值集合． 【答案】（1）函数图象见解析． （2）． （3）或． 【分析】（1）奇函数关于原点对称，据此补全图象即可； （2）（3）由图象写出单调递增区间和写出使的的取值集合即可． 【解答】解：（1）由题意作出函数图象如图所示． （2）由图可知，单调递减区间为． （3）由图可知，使的的取值集合为或． 方法点拨 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数 图象关于原点对称，偶函数 图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 【变式1】（2025 广东学业考试）偶函数的图象关于轴对称，下列图象中，可以表示偶函数的是 A． B． C． D． 【变式2】（2025 湖北三模）已知奇函数在时的图象如图所示，则不等式的解集 ，，． ． 【变式3】（2024春 太和县期末）设奇 ... ...
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