§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 【课前预习】 知识点一 1.(1)纵坐标v 横坐标u 诊断分析 (1)× (2)√ 知识点二 诊断分析 (1)× (2)× (3)√ (4)× [解析] (4)∵α是第四象限角,∴sin α<0,cos α>0,∴m<0. 【课中探究】 探究点一 例1 - [解析] 由题意知sin θ==-,cos θ==, 所以2sin θ+cos θ=-2×+=-. 例2 解:由题可得,点P与坐标原点间的距离r==5|m|,所以sin α=, cos α=.当m>0时,sin α=,cos α=-,故2sin α+cos α=;当m<0时,sin α=-,cos α=, 故2sin α+cos α=-. 变式 (1) (2)D [解析] (1)由题可知,点P与坐标原点间的距离r==, ∴cos α==. (2)依题意知sin α==,解得m=±2.故选D. 探究点二 例3 解:设O为原点,当角α的终边在第四象限时,在直线y=-3x上取点P1(1,-3),则r1=OP1==,sin α==-,cos α==, 所以2sin α+3cos α=-+=-; 当角α的终边在第二象限时,在直线y=-3x上取点P2(-1,3),则r2=OP2=,sin α=,cos α=-,所以2sin α+3cos α=-=. 综上,2sin α+3cos α=±. 变式 解:∵角α的终边与直线y=3x的一部分重合,sin α<0,∴点P(m,n)位于直线y=3x在第三象限的部分上,则m<0,n<0,n=3m.∵OP==|m|=-m=,∴m=-1,n=-3,∴m-n=2. 探究点三 例4 解:(1)①∵π<<,∴为第三象限角,则sin<0. ②∵<3<π,∴3为第二象限角,则cos 3<0. ③∵<<2π,∴为第四象限角,则sin<0,cos>0,故sin·cos<0. (2)∵sin α>0,∴α的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上,∵cos α<0,∴α的终边在第二、三象限或x轴的负半轴上.故当sin α>0且cos α<0时,α的终边在第二象限. [一题多变] 1.[变条件]本例(2)中条件变为“sin αcos α<0”,问题不变. 解:由sin αcos α<0知sin α>0,cos α<0或sin α<0,cos α>0.故α的终边在第二、四象限. 2.[变条件]本例(2)中条件变为“若点P(sin α,cos α)在第三象限”,问题不变. 解:由条件知sin α<0,cos α<0,故α的终边在第三象限. 变式 (1)A (2)-2
0,且|cos θ|=cos θ,所以sin θ>0,cos θ>0,所以θ是第一象限角,故选A. (2)∵cos α≤0,sin α>0,α的终边过点(3a-9,a+2),∴∴-20,所以θ为第四象限角.故选D. 2.C [解析] 由题意得r=OP==5(O为坐标原点),∴sin α=-,cos α=,∴cos α+sin α+1=-+1=.故选C. 3.B [解析] 由三角函数的定义得cos α==,可得m=3.故选B. 4.B [解析] ∵点P(2sin θ,sin θ·cos θ)位于第四象限,∴即∴角θ的终边在第二象限.故选B. 5.A [解析] 因为α的终边在直线y=3x上,所以当α为第一象限角时,sin α=,cos α=,所以sin α+cos α =+==.当α为第三象限角时,sin α=-,cos α=-,所以sin α+cos α=--=-=-.综上所述,sin α+cos α=±.故选A. 6.B [解析] 设角α的终边与单位圆的交点为P(a,b),O为坐标原点.因为=,所以-a=b>0,则OP==b,所以cos α===-.故选B. 7.B [解析] 由题意得OP=(其中O为坐标原点),∴cos α==-,∴m>0且=,得m=. 8.BD [解析] 当m=2时,sin α<0,故A错误;由角α的终边过点P(m,1-m),m>0,得cos α=>0,故B正确;当m=时,sin α=cos α,即sin α-cos α=0,故C错误;sin α+cos α=+=>0(r=OP)恒成立,故D正确.故选BD. 9.ACD [解析] 显然x的终边不在坐标轴上.当x是第一象限角时,A=+=+=2;当x是第二象限角时,A=+=-+=0;当x是第三象限角时,A=+=--=-2;当x是第四象限角时,A=+=-=0.故选ACD. 10.三 [解析] 若sin θ<0,则θ的终边位于第三象限或第四象限,或y轴的负半轴上;若cos θ<0,则θ的终边位于第二象限或第三象限,或x轴的负半轴上.综上可得,角θ的终边位于第三象 ... ... 