§6 平面向量的应用 6.1 余弦定理与正弦定理 第1课时 余弦定理 【学习目标】 能够借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理和三角形面积公式. ◆ 知识点一 余弦定理 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有 余弦 定理 语言 叙述 三角形任何一边的平方等于 公式 表达 a2=b2+c2-2bccos A,b2= ,c2= 推论 cos A=,cos B=,cos C= 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系,因此,它适用于任何三角形. ( ) (2)在△ABC中,若a2>b2+c2,则△ABC一定为钝角三角形. ( ) (3)在△ABC中,已知两边和其夹角时,△ABC不唯一. ( ) (4)在三角形中,勾股定理是余弦定理的一个特例. ( ) (5)在△ABC中,已知A=60°,b=2,c=1,则a=. ( ) ◆ 知识点二 三角形的面积公式 S△ABC=bcsin A= = . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在△ABC中,若c=b=2,S△ABC=,则A=60°. ( ) (2)在△ABC中,若a=6,b=4,C=30°,则△ABC的面积是6. ( ) ◆ 探究点一 已知两边和一个角求三角形的边和角 例1 (1)在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则c= ,sin A= . (2)在△ABC中,AB=3,BC=7,A=120°,则AC= ( ) A.5 B.6 C.8 D. 变式 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)2-c2=4,C=60°,则ab的值为 ( ) A. B.8-4 C.1 D. [素养小结] 已知三角形的两边和一个角解三角形的方法 (1)先利用余弦定理求出第三边,再利用余弦定理的推论求出其余的角. (2)用余弦定理的推论求角时,首先求出的是这个角的余弦值,然后根据余弦函数在(0,π)上单调递减,可得余弦值对应的角是唯一的. ◆ 探究点二 已知三角形的三边求三角形的角 例2 (1)[2024·甘肃武威天祝一中高一月考] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a∶b∶c=1∶2∶,则△ABC的最大内角为 ( ) A. B. C. D. (2)在△ABC中,已知a=3,b=,c=2,求内角B的大小. 变式 (1)若三角形的三边边长之比是1∶∶2,则其所对角之比是 ( ) A.1∶2∶3 B.1∶∶2 C.1∶∶ D.∶∶2 (2)已知锐角三角形的三边边长分别为1,3,m,则m的取值范围是 ( ) A.(2,4) B.(2.5,3.5) C.(2,) D.(2,4) [素养小结] (1)已知三角形的三边求角的基本思路是:利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值.若余弦值为正,则角为锐角;若余弦值为负,则角为钝角;若余弦值为0,则角为直角. (2)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解. ◆ 探究点三 余弦定理的简单应用 例3 (1)在锐角三角形ABC中,已知a=3,c=,C=60°,则△ABC的面积为 ( ) A. B.或 C. D. (2)在△ABC中,a2+b2+c2=2bccos A+2accos B,则△ABC一定是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 变式 (1)在△ABC中,acos A+bcos B=ccos C,则△ABC一定是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b+c)(a-b+c)=4,B=,则△ABC的面积为 ( ) A.2- B.4-2 C.2+ D.4+2 [素养小结] 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化为边的关系:将条件中的角的关系,利用余弦定理化为边的关系,再进行判断. (2)化为角的关系:将条件中的边的关系,通过余弦定理化为角的关系,再进行判断.(
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