第4课时 余弦定理、正弦定理的应用举例 1.D [解析] 如图,设两船在A处相遇,则由题意得∠ACB=120°,∠ABC=30°,则△ABC是等腰三角形,则AC=20 km,AB=20 km,所以海盗船需1 h到A处,故海警船的速度大小至少为20 km/h.故选D. 2.D [解析] 设AB=x米,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,可知AC=x米.在Rt△ABD中,因为AD=(x+20-20)米,∠ADB=30°,所以=tan 30°,即=,解得x=20,即塔高为20米.故选D. 3.C [解析] 由题意知,∠ACB=π-α-β.因为=,所以AC==.故选C. 4.C [解析] 作出示意图(如图所示),在△ABC中,AC=15,∠BAC=60°-30°=30°,C=90°-60°=30°,则B=120°.由正弦定理得=,即AB==5,所以A与灯塔B的距离是5 n mile.故选C. 5.A [解析] 如图所示,其中GH为树高,在△ABH中,∠ABH=140°,∠BAH=30°, 则∠AHB=180°-140°-30°=10°,AB=3.4 m.由正弦定理可得=,则BH=≈=10(m).在Rt△BHG中,∠GBH=60°,∠BHG=90°,所以GH=BHtan 60°≈10(m),所以该伯乐树的高度约为10 m.故选A. 6.D [解析] 由题意作出示意图,如图所示,其中AS为电视塔,设AS=h米,甲、乙分别在B,C处,则∠ABS=45°,∠ACS=30°,BC=500米,∠ABC=120°,所以在△ABS中,AB=AS=h米,在△ACS中,AC=h米.在△ABC中,因为AB=h米,AC=h米,BC=500米,∠ABC=120°,所以由余弦定理得(h)2=5002+h2-2×500×h×cos 120°,可得h=500.故选D. 7.A [解析] 设CD=x米,∵∠CAD=45°,∠CBD=30°,∴AD=x米,BD=x米.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,即2662=x2+(x)2-2x×(x)×cos 150°,可得x=,故测量时气球到地面的距离是米.故选A. 8.AC [解析] 由题意可知∠PAQ=α,∠PBC=γ,∠PAB=α-β,∠BAQ=β,则∠APQ=-α, ∠BPQ=-γ,所以∠APB=∠APQ-∠BPQ=γ-α,可知sin∠ABP=sin[π-(∠APB+∠BAP)]= sin(∠APB+∠BAP)=sin(γ-α+α-β)=sin(γ-β),在△ABP中,由正弦定理可得=,即=,所以AP=.在Rt△APQ中,PQ=APsin α=,故A正确,B错误.在 △ABP中,由正弦定理可得=,即=,所以PB=.在Rt△PBC中,PC=PBsin γ=.又CQ=ABsin β=tsin β,所以PQ=PC+CQ=+tsin β,故C正确,D错误.故选AC. 9.AC [解析] 如图所示,其中AD为甲楼高,CB为乙楼高.在Rt△ABD中,∠ABD=60°,BD=20 m,∴AB==40(m),AD=BDtan 60°=20(m).在△ABC中,∠CAB=∠CBA=30°,则AC=CB, ∠ACB=120°,设AC=CB=x m,由余弦定理得AB2=AC2+CB2-2AC·CBcos∠ACB,即1600=x2+x2+x2,可得x=,则CB= m.故选AC. 10.10 [解析] 如图,由题意得,∠BAC=70°-40°=30°,∠ABC=40°+65°=105°,AB=40×=20(海里),则∠ACB=45°,在△ABC中,由正弦定理得BC=×sin 30°=10(海里). 11.14 n mile/h [解析] 设甲舰行驶的速度大小为v n mile/h,在C处追上乙舰,则由题意知在 △ABC中,AC=10×2=20(n mile),AB=12 n mile,∠BAC=120°,所以BC2=AB2+AC2-2AB·AC· cos 120°=784,所以BC=28 n mile,所以v==14(n mile/h). 12.30° [解析] 如图所示,在Rt△ACD中,AC=10 m,∠DAC=45°,∴DC=10 m.在Rt△DCB中,∵∠DBC=30°,∴BC=10 m.在△ABC中,cos∠ACB==,∴∠ACB=30°. 13.解:(1)由题意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=(-1)n mile,BC=2 n mile, 根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=(-1)2+4+2×(-1)=6, 所以AC= n mile. (2)根据正弦定理可得=, 即sin∠CAB=sin∠ABC===, 又BC
