4.4 数学归纳法(选学内容，不作考试要求) 高频考点一|等差(比)数列的基本运算 [例1] 等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn. [解] (1)设{an}的公比为q. 由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32. 设{bn}的公差为d，则 解得∴bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. ∴数列{bn}的通项公式为bn＝12n－28. ∴数列{bn}的前n项和 Sn＝＝6n2－22n. 等差数列、等比数列各有五个相关量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差数列、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法． [集训冲关] 1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为( ) A．－110 B．－90 C．90 D．110 解析：选D ∵a3＝a1＋2d＝a1－4，a7＝a1＋6d＝a1－12，a9＝a1＋8d＝a1－16，a7是a3与a9的等比中项， ∴(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20， ∴S10＝10×20＋×10×9×(－2)＝110.故选D. 2．已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2. (1)求{an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a4－a3＝2，所以d＝2. 又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4. 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16， 所以q＝2，b1＝4. 所以b6＝4×26－1＝128. 由128＝2n＋2得n＝63. 所以b6与数列{an}的第63项相等． 高频考点二|等差(比)数列的基本运算 [例2] 记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＋＝2. (1)证明：数列{bn}是等差数列． (2)求{an}的通项公式． [解] (1)证明：由＋＝2， 得bn＝＝＋， 亦可得2＋＝2Sn＝2＋(n≥2)， 即bn－1＝(n≥2)，所以bn－bn－1＝. 由＋＝2，可得b1＝. 所以{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)＝1＋， 所以Sn＝＝＝(n≥2)． 当n＝1时，S1＝b1＝，满足上式，所以Sn＝. 所以an＝Sn－Sn－1＝－＝－(n≥2)． 当n＝1时，a1＝S1＝b1＝≠－， 所以an＝ 判断和证明数列是等差(比)数列的方法 (1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的常数． (2)中项公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列； ②若a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列． (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数) {an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数) {an}是等比数列． (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*) {an}是等差数列； Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*) {an}是公比不为1的等比数列． [集训冲关] 1.(多选)已知Sn是公比为q的正项等比数列{an}的前n项和，若a1＋a2＝3，a2a4＝16，则下列说法正确的是( ) A．q＝2 B．数列{Sn＋1}是等比数列 C．S8＝255 D．数列{lg an}是公差为2的等差数列 解析：选ABC 根据题意，设等比数列{an}的公比为q(q>0)， 对于A，若a1＋a2＝3，a2a4＝16，则a3＝4，a1q2＝4，解得a1＝1，q＝2，A正确； 对于B，由a1＝1，q＝2，则Sn＝＝2n－1，则有Sn＋1＝2n，故数列{Sn＋1}是公比为2的等比数列，B正确； 对于C，由Sn＝2n－1，则S8＝28－1＝255，C正确； 对于D，由a1＝1，q＝2，则an＝2n－1，故lg an＝(n－1)lg 2，数列{lg an}是公差为lg 2的等差数列，错误． 故选A、 ... ...
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