第四章 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 【课前预习】 知识点 1.cos αcos β-sin αsin β　2.cos αcos β+sin αsin β 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　[解析] (2)当α=-45°,β=45°时,cos(α-β)=cos(-45°-45°)=cos(-90°)=0, cos α-cos β=cos(-45°)-cos 45°=0,此时cos(α-β)=cos α-cos β. (3)用两角和的余弦公式展开为cos=cos αcos-sin αsin=-sin α,用诱导公式化简为cos=-sin α. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)　(3)　[解析] (1)cos 165°=cos(180°-15°)=-cos 15°=-cos(45°-30°)= -cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30°=-.故选C. (2)原式=cos(x-27°-x-18°)=cos(-45°)=cos 45°=. (3)∵cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=×+×=,cos 75°=cos(30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=×-×=,∴cos 15°+cos 75°=. 变式　解:(1)原式== =. (2)原式=cos 43°cos 77°+sin 43°cos(90°+77°)=cos 43°cos 77°-sin 43°sin 77°=cos 120°= -cos 60°=-. (3)∵cos 60°=,sin 60°=,∴cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°sin 15°= cos(60°-15°)=cos 45°=. 探究点二 例2　(1)A　(2)　(3)　[解析] (1)因为α∈,所以α-∈,所以cos>0.由sin=,可得cos=,故cos α=cos=cos-sin=×=,故选A. (2)因为cos α=,α是第四象限角,所以sin α=-=-=-.因为sin β=,β是第二象限角,所以cos β=-=-=-.故cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=. (3)因为α,β∈,所以α-β∈,又sin(α-β)=>0,所以0<α-β<, 所以sin α==,cos(α-β)==, 故cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cos αcos(α-β)-sin αsin(α-β)=×-×=. 变式　-　[解析] ∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<,∵cos(α-β)=,∴sin(α-β)==,∵sin(α+β)=-,∴cos(α+β)=-=-,则cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α-β)sin(α+β)=-×-×=-. 拓展　　[解析] ∵α,β均为锐角,且cos(α+β)=,sin(α-β)=,∴sin(α+β)==,cos(α-β)==, ∴cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=×-×=. 探究点三 例3　(1)　[解析] 因为cos α+sin α=coscos α+sinsin α=cos,cos α+sin α=,所以cos=.因为0<α<π,所以-<α-<,所以α-=,故α=. (2)解:∵α-β∈,cos(α-β)=-,∴sin(α-β)=.∵α+β∈,cos(α+β)=,∴sin(α+β)=-, ∴cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+×=-1.∵α-β∈,α+β∈,∴2β∈, ∴2β=π,故β=. 变式　解:∵α,β∈,且cos α=,cos(α+β)=-, ∴α+β∈,∴sin α==,sin(α+β)==. ∵β=(α+β)-α,∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,又β∈,∴β=.§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 1.C　[解析] sin 20°cos 10°+sin 10°sin 70°=cos 70°cos 10°+sin 70°sin 10°=cos(70°-10°) =cos 60°=.故选C. 2.A　[解析] 由sin Asin B0,即cos(A+B)>0,则cos C<0,故△ABC一定为钝角三角形,故选A. 3.C　[解析] 由两角差的余弦公式知,cos(-φ)=,sin(-φ)=,所以cos φ=,sin φ=-,结合选项知φ的一个值为.故选C. 4.C　[解析] 因为sin α=,α∈,所以cos α=-,则cos=cos α-sin α =×-×=.故选C. 5.D　[解析] 因为角α的终边经过点P(3,4),所以sin α=,cos α=.由sin β=,β∈,可得cos β=-=-=-,则cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-.故选D. 6.D　[解析] ∵sin α,cos α是方程5x2-x-2=0的两个实根,∴sin α+cos α=,sin αcos α =-,∴(sin α-cos α)2=(sin α+co ... ...