§2 直观图 【课前预习】 知识点 (2)45° 90° 水平平面 (3)x' y' z' (4)不变 一半 诊断分析 1.(1)× (2)× (3)× (4)× [解析] (1)如正方形(四个内角都相等)的直观图为平行四边形(相邻的内角互补,相对的内角相等). (2)根据斜二测画法的特点可知,原图中垂直的线段在直观图中不垂直. (3)水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形. (4)水平放置的正方形的直观图中邻边长度不相等. 2.解:在直观图中平行于x'轴的线段在平面图形中长度不变,但平行于y'轴的线段在平面图形中长度变为它的2倍. 【课中探究】 探究点一 例1 解:(1)如图①所示,以BC边所在的直线为x轴,以BC边上的高AO所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy. (2)如图②,画对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°. 在x'轴上截取O'B'=O'C'=2 cm,在y'轴上截取O'A'=OA,连接A'B',A'C'. (3)擦去辅助线x'轴,y'轴及点O',则三角形A'B'C'即为正三角形ABC的直观图,如图③所示. 变式 解:(1)在已知的直角梯形OBCD中,以底边OB所在直线为x轴,垂直于OB的腰OD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,如图①所示. (2)画出x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上截取O'B'=OB,在y'轴上截取O'D'=OD,过点D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C',使得D'C'=DC,连接B'C',如图②. (3)擦去辅助线x'轴,y'轴和l,所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形OBCD的直观图,如图③. 探究点二 例2 解:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴三轴交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①. (2)画底面.以O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=4 cm,在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5 cm. 分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD就是长方体的底面的直观图,如图②. (3)画侧棱.过A,B,C,D四点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD',如图③. (4)连线成图.顺次连接A',B',C',D',如图④,擦去辅助线,且将被遮线画成虚线,就得到长方体的直观图,如图⑤. 变式 解:(1)先用斜二测画法画出边长为3 cm的正六边形的直观图,如图①所示. (2)过点O'建立z'轴(z'轴垂直x'轴),在z'轴上截取O'V'=3 cm,如图②所示. (3)连接V'A',V'B',V'C',V'D',V'E',V'F',如图③所示. (4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示. 探究点三 例3 D [解析] 由题图知,AC=2,BC=2,且AC⊥BC,所以S△ABC=×2×2=2.故选D. 变式 8 [解析] 在正方形O'A'B'C'中可得B'O'=A'O'=2,由斜二测画法的特点可知BO=2B'O'=4,AO=A'O'=2,且OA⊥OB,OA∥BC,AB∥CO,所以四边形OABC为平行四边形,所以四边形OABC的面积是BO·AO=4×2=8.§2 直观图 1.D [解析] 对于A,B,由正方形的直观图是邻边不相等的平行四边形可知A,B错误.对于C,如图,矩形OABC的邻边满足OC=2OA,则其直观图中平行四边形O'A'B'C'的邻边是相等的,故C错误.对于D,由斜二测画法的特点可知,线段的中点在直观图中仍然是线段的中点,故D正确.故选D. 2.D [解析] 根据斜二测画法的规则知,∠x'O'y'的度数应为45°或135°,∠x'O'z'的度数为90°.故选D. 3.C [解析] 斜二测画法的特点为,平行于x轴或x轴上的线段的长度在直观图中不变,平行于y轴或在y轴上的线段的长度在直观图中变为原来的.因为A'B'与x'轴的夹角为45°,所以AB⊥x轴,即AB⊥OA,故选C. 4.A [解析] 根据几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用,可知A正确. 5.B [解析] 根据斜二测画法的特点还原△ABC,可得OB=OC=OA=1,且OA⊥BC, 则∠BAC=90°,且AB=AC=,所以△ABC为等腰直角三角形.故选B. 6.D [解析] 如图①,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图②,建立坐标系x'O'y', 使∠x'O'y'=45°,则根据斜二测画法的规则可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a.过C'作C'D'⊥O'x'于D',则C'D'=O'C'=a.所以△A' ... ...
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