第六章 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）必修 第二册

§6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 【课前预习】 知识点一 1.一条侧棱　母线　2.2πrl　πrl　π(r1+r2)l 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)圆柱的侧面积等于底面圆周长与高的积. (2)当圆锥的底面半径扩大为原来的2倍,母线长缩小为原来的时,它的底面积扩大为原来的4倍,而侧面积不变,所以它的表面积发生了变化. (3)圆柱、圆台的表面积为侧面展开图的面积加上上底面与下底面的面积,圆锥的表面积为侧面展开图的面积加上底面圆的面积. 知识点二 ch　ch'　(c1+c2)h' 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)五棱锥的表面积等于五个侧面面积与一个底面面积之和. (3)设原来正方体的棱长为x cm,则6(x+1)2=4×6x2,可得x=1,所以扩大后的正方体的棱长为2 cm. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)A　[解析] (1)设圆锥底面半径为r,则圆锥的高h=2r,∴其母线长l=r,∴S侧=πrl=πr2,又S底=πr2,∴S底∶S侧=1∶. (2)设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3π(r+3r)=84π,解得r=7. 变式　C　[解析] 设圆柱底面的半径为r,则圆柱的高h=2r,故圆柱的侧面积为2πr·h=4πr2,表面积为4πr2+2πr2=6πr2,所以该圆柱的侧面积与表面积的比值为=,故选C. 探究点二 例2　解:如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=5,取A1C=15,B1D=9,连接AC,BD,设AC=a,BD=b,AC和BD交于点O. ∵A1C=15,B1D=9, ∴a2+52=152,b2+52=92, ∴a2=200,b2=56, 即AC=10,BD=2. ∵该直四棱柱的底面是菱形, ∴AB2=+===64,∴AB=8,∴直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160. 又直四棱柱的底面积S底=AC·BD=20, ∴直四棱柱的表面积S表=160+2×20=160+40. 变式　2∶1　[解析] 设该正四棱锥的斜高为h',高为h,底面边长为a,则h'=h,a=2=h.可得该正四棱锥的侧面积S1=×4a×h'=h2,底面积S2=a2=h2,所以该正四棱锥的侧面积与底面积之比为2∶1. 拓展　108+180　[解析] 方法一:如图,设E,E1分别是BC,B1C1的中点,O,O1分别是四棱台下、上底面的中心,连接O1O,O1E1,E1E,OE,则O1O为正四棱台的高,即O1O=12,OE=AB=6,O1E1=A1B1=3.过E1作E1H⊥OE,垂足为H,则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,HE=OE-O1E1=6-3=3.在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=153,所以E1E=3,所以S侧=4××(B1C1+BC)×E1E=2×(6+12)×3=108,所以S表=108+62+122=108+180. 方法二:如图,将正四棱台的侧棱延长,设交于一点P.取B1C1,BC的中点分别为E1,E,连接EE1并延长,则点P在EE1的延长线上.设O1,O分别是四棱台上、下底面的中心.连接OE,O1E1,连接OO1并延长,则点P在OO1的延长线上.因为O1E1=A1B1=3,OE=AB=6,所以===,则=,所以PO1=O1O=12.在Rt△PO1E1中,P=P+O1=122+32=153,即PE1=3,在Rt△POE中,PE2=PO2+OE2=242+62=612,即PE=6,所以E1E=PE-PE1=6-3=3.故S侧=4××(BC+B1C1)×E1E=2×(12+6)×3=108,所以S表=108+62+122=108+180. 探究点三 例3　解:所得旋转体如图所示,它由两个同底的圆锥组成, 设底面圆的圆心为O,连接OC. 当∠BAC=30°时,∵AB=2,∴CB=1,CA=,∴CO=,旋转体的表面积S1=π×CO×(AC+BC)=π××(1+)=(3+); 当∠BAC=45°时,∵AB=2,∴AC=BC=,∴CO=1,旋转体的表面积S2=π×CO×(AC+BC)=π×1×(+)=2π.故S2>S1. 变式　解:由题意,知原圆柱的表面积S1=2π·2a·a+2π·(2a)2=4(+2)πa2,挖去一个小圆柱后所得几何体的表面积S2=S1-2πa2+2πa·a=6(+1)πa2,所以==.§6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 1.D　[解析] 设底面半径为r,母线长为l,则2πr=πl,解得l=2r,又圆锥侧面积S=πrl=2πr2=2π,得r=1,故选D. 2.A　[解析] 设圆柱的底面半径为r,母线长为l.因为圆柱的侧面展开图是一个边长为4π的正方形,所以2πr=l=4π,解得r=2,l=4π,所以圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=8π+16π2.故选A. 3.B　[解析] 方法一:由 ... ...