2.2 圆的一般方程 【课前预习】 知识点 += (1)①1 ②xy ③> (2)圆 点 诊断分析 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ 【课中探究】 例1 解:(1)因为(-4)2=16>0, 所以该方程表示圆,又-=2,-=0, 所以该圆的圆心为(2,0),半径r==2. (2)因为(-4)2+(-2)2-4×5=16+4-20=0, 所以该方程表示点,又-=2,-=1, 所以该方程表示的点的坐标是(2,1). (3)原方程可化为x2+y2-x+2y+3=0, 因为+22-3×4=+4-12<0, 所以该方程无实数解,方程不表示任何图形. 例2 解:方程x2+y2-2y+λ(x2+y2-2x)=0可化为 (λ+1)x2+(λ+1)y2-2λx-2y=0. 当λ+1=0,即 λ=-1时,原方程可化为y=x,此时该方程表示直线;当 λ+1≠0,即 λ≠-1时,原方程可化为+=,该方程表示以为圆心,以 为半径的圆.综上所述,当λ=-1时,方程表示直线x=y;当λ≠-1时,方程表示以 为圆心,以 为半径的圆. 变式 AD [解析] 因为方程x2+y2-ax+2ay+2a+1=0表示圆,所以(-a)2+(2a)2-4(2a+1)>0,可得5a2-8a-4>0,即(5a+2)(a-2)>0,所以a<-或a>2.观察选项,只有4和-2符合题意.故选AD. 例3 解:设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以圆M的方程为x2+y2-4x+y+1=0. 变式 x2+y2+2x-4y-20=0 [解析] 方程x2+y2-6x+4y-12=0可化为(x-3)2+(y+2)2=25,故该圆的圆心坐标为(3,-2),半径为5.设对称圆的圆心坐标为(m,n),则点在直线l上,且两圆心所在直线与直线l垂直,所以--1=0,且=-1,可得m=-1,n=2.显然,对称圆的半径也为5,则所求圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=25,一般方程为x2+y2+2x-4y-20=0. 拓展 2 [解析] 因为∠ABC+∠ADC=180°,所以A,B,C,D四点共圆,则原问题转化为求四边形ABCD外接圆的半径.以点B为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-2,0),B(0,0),C(1,),设四边形ABCD外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,分别将A,B,C三点的坐标代入求得D=2,E=-2,F=0,故外接圆的方程为x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-)2=4,所以外接圆的半径为2.故M到四个顶点的距离等于2. 例4 (1)ABC (2)A [解析] (1)方程x2+y2-4x-1=0可化为(x-2)2+y2=5,所以该圆的圆心坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形,而点(2,0)是该圆的圆心,故A选项正确;圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,故B选项正确;直线x+3y-2=0过圆心,故C选项正确;直线x-y+2=0不过圆心,故D选项不正确.故选ABC. (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),则解得所以圆的方程为x2+y2-5x-5y+10=0.又点(1,m)在圆上,所以1+m2-5-5m+10=0,整理得m2-5m+6=0,解得m=2或m=3.故选A. 变式 (1)D (2)-1 [解析] (1)由题意,曲线C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4,因此曲线C是圆心为(-a,2a),半径为2的圆,∵曲线C上所有的点均在第二象限内,∴解得a>2,∴a的取值范围是(2,+∞),故选D. (2)圆的方程可整理为(x-2)2+(y-1)2=m+6,则圆心C的坐标为(2,1),所以|OC|==(其中O为坐标原点).因为圆C不经过第三象限,所以≥>0,解得-6r,即点A在圆C外,故B正确;由|AC|=2,r=,可得点A与圆C上任一点之间距离的最小值为,最大值为3,故C,D正确.故选BCD.2.2 圆的一般方程 1.B [解析] 由x2+y2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,因此圆心M的坐标为(-1,2).故选B. 2.C [解析] 由x2+y2+x+4y-m=0得+(y+2)2=m+4+,∴m+4+=,∴m=-4.故选C. 3.D [解析] 由题意得22-4(-1-m)=4m+8>0,解得m>-2.故选D. 4.A [解析] 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示圆心为,半径为的圆,因为该圆关于直线x+y=0对称,所以圆心在直线x+y=0上,即有D+E=0.故选A. 5.B [解析] 易知圆C的标准方程为+(y-1)2=k+,可得k+>0,即k>-.因为点P(1,1)在圆C外部,所以1+1-1-2-k>0,解得k<-1,所以-
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