§2 空间向量与向量运算 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算 第1课时 空间向量的概念及运算 【课前预习】 知识点一 大小 方向 有向线段 , , ,… 大小 长度 |a| || 0 0 任意方向 1 方向 自由向量 相反 相等 -a 重合 a∥c,b∥c 平行 共面向量 诊断分析 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ 知识点二 1.平面向量 2.和 三角形 平行四边形 b+a a+(b+c) a+(-b) 三角形 a+(-b) 向量 数乘运算 λa |λ||a| 相同 相反 0 (λμ)a λa+λb λa+μa 3.单位向量 诊断分析 1.(1)√ (2)√ (3)× 2.体对角线 3.解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内,所以任意两个空间向量的运算可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算相同. 平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用. 知识点三 1.a=λb 2.c=xa+yb 诊断分析 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 【课中探究】 例1 (1)BD (2)8 ,,,,,,, 变式 ABC [解析] 对于A,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=1,单位向量的模为1,则单位向量有,,,,,,,,共8个,故A正确;对于B,由图可知,与相等的向量有,,,共3个,故B正确;对于C,由图可知,向量的相反向量有,,,,共4个,故C正确;对于D,∵=,向量,,有一个公共点A1,点A1,B1,D1都在平面A1B1C1D1内,点A在平面A1B1C1D1外,∴向量,,不共面,故D错误.故选ABC. 例2 (1)B (2)C [解析] (1)根据空间向量的加、减法运算可得B正确. (2)--=--(-)=-=.故选C. 变式 ①②③ [解析] -=+=,①正确;++=++=,②正确;③显然正确;+++=++=,④错误.故填①②③. 例3 B [解析] 原式=a+3×a-a+2b-3×b+2b-3c+3×c-c=2a+b-2c.故选B. 例4 解:=++=a+(b-a)+(c-b)=-a+b+c. 变式 B [解析] 因为E,F分别为BC,AE的中点,所以==(+).因为G为△ACD的重心,所以=(+),所以=-=(+)-(+)=-++.故选B.§2 空间向量与向量运算 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算 第1课时 空间向量的概念及运算 1.C [解析] 对于A,零向量与它的相反向量相等,故A错误;对于B,将空间中的所有单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个球面,故B错误;对于C,空间向量与平面向量一样,既有大小又有方向,两个向量不能比较大小,故C正确;对于D,一个非零空间向量与它的相反向量不相等,但它们的模相等,故D错误.故选C. 2.D [解析] 由= 知四棱柱是平行六面体,所以每个面是平行四边形.对于A,与的方向相反,所以不是相等向量;对于B,与的方向相反,所以不是相等向量;对于C,与的方向不同,所以不是相等向量;对于D,与的方向相同,大小相等,是相等向量.故选D. 3.B [解析] 连接BG,易知(+)=,∴(+)+=+=.故选B. 4.A [解析] ∵4+=4,∴=4(-)=4,∴+=4,∴=3,则=.故选A. 5.D [解析] 如图所示,由题意可得,=+=++,又∵=,=,∴=++=++=++(-)=++,故选D. 6.A [解析] =+++=--++=-++,则x=-1,y=1,z=,可得x+y+z=.故选A. 7.ACD [解析] 对于选项A,根据向量加法的交换律可知a+b=b+a,故A为真命题;对于选项B,|a|=|b|,说明向量a与b的长度相等但方向无法确定,所以a=±b不一定成立,故B为假命题;对于选项C,根据向量相等的定义可知,若m=n,n=p,则m=p,故C为真命题;对于选项D,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,||=||,且与方向相同,所以=,故D为真命题.故选ACD. 8.ABD [解析] 作出三棱柱ABC-A1B1C1,如图.对于A,当λ=1时,=+μ,则=-=μ=μ,又μ∈[0,1],所以点P在棱B1C1上,故A正确;对于B,当λ=μ时,=λ(+)=λ,又λ∈[0,1],所以点P在线段BC1上,故B正确;对于C,当λ=μ=时,由B知=,所以P为棱BC1的中点,故C错误;对于D,当λ+μ=1时,μ=1-λ,所以=λ+(1-λ),则-=λ-λ,即=λ,又λ∈[0,1],所以点P在线段B1C上,故D正确.故选ABD. 9.③④ [解析] 共线向量即为平行向量,两个共线 ... ...
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