第五章 4.1 二项式定理的推导（课件 学案 练习）高中数学北师大版（2019）选择性必修 第一册

§4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 【课前预习】 知识点 3.(k=0,1,2,…,n) 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【课中探究】 例1　解:(1)(a+2b)5=a5+a4(2b)1+a3(2b)2+a2(2b)3+a(2b)4+(2b)5=a5+10a4b+40a3b2+80a2b3+80ab4+32b5. (2)展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-2)r,∴其展开式为x6-12+60x3-160+240-192+64x-3. 变式　解:=x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+=x7-7x5+21x3-35x+-+-. 例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)原式=(-2)0+(-2)1+(-2)2+(-2)3+…+(-2)n=(1-2)n=(-1)n.故选C. (2)16-32x+24x2-8x3+x4=×24+×23×(-x)+×22×(-x)2+×2×(-x)3+×(-x)4=(2-x)4.故选B. 变式　A　[解析] 原式=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+-1=(x-1+1)4-1=x4-1,故选A. 拓展　6　[解析] ·3n+·3n-1+·3n-2+…+·3+=·3n·10+·3n-1·11+·3n-2·12+…+·31·1n-1+·30·1n=(3+1)n=4n=212,即22n=212,得n=6. 例3　解:(1)由二项式通项可得,第6项的二项式系数为=126. (2)由题意可知,T3=·(x2)7·=9x12,故第3项的系数为9. (3)由题意可知,Tr+1=(x2)9-r=x18-3r,令18-3r=0,解得r=6,所以T7==,即常数项为. 变式　(1)15　(2)B　[解析] (1)的展开式的通项为Tk+1=x6-k=x6-3k,令6-3k=0,解得k=2,所以常数项是=15. (2)的展开式的通项为Tr+1=(ax)6-r=(-2)ra6-rx6-2r,令6-2r=0,解得r=3,∴的展开式中的常数项为T4=(-2)3a6-3x6-6=-160a3=-160,∴a3=1,∴a=1.故选B. 拓展　C　[解析] 由(x+y)n的展开式的二项式系数和为64,可得2n=64,即n=6.设x+1=t,则2x+3=2t+1,则(2x+3)n=(2x+3)6=(2t+1)6=a0+a1t+a2t2+…+a6t6,可得a2t2=(2t)6-414=22t2=60t2,则a2=60.故选C. 例4　(1)A　(2)C　[解析] (1)=,可得的展开式的通项为Tr+1=x10-r=(-1)rx10-2r,令10-2r=0,解得r=5,所以展开式中的常数项为(-1)5=-252.故选A. (2)由题可得(x-1)5的展开式中含x3的项为x3(-1)2=10x3,含x5的项为x5(-1)0=x5,这两项分别与x2和1相乘,得(x2+1)(x-1)5的展开式中含x5的项为10x5+x5=11x5,故所求系数为11,故选C. 变式　(1)C　(2)-480　[解析] (1)二项式(1+ay)6的展开式的通项为Tr+1=×16-r(ay)r=aryr,令r=3,可得二项式(1+ay)6的展开式中y3的系数为a3,∴(1+ay)6的展开式中x-2y3的系数为(-1)a3=160,可得a3=-8,解得a=-2,故选C. (2)(x+y-2z)6=[(x+y)-2z]6的展开式的通项为Tr+1=(x+y)6-r(-2z)r,令r=3,得T4=(x+y)3(-2z)3=-8(x+y)3z3.易知(x+y)3的展开式的通项为x3-mym,令m=2,得(x+y)3的展开式中含xy2的项为xy2.所以(x+y-2z)6的展开式中,xy2z3的系数是-8=-480.§4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 1.C　[解析] 因为的展开式共有(n+6)项,所以n+6=20,所以n=14,故选C. 2.A　[解析] 因为S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1=(x-1)3·10+(x-1)2·11+(x-1)·12+·13,所以结合二项展开式的形式,可得S=[(x-1)+1]3=x3.故选A. 3.A　[解析] (x-y)5的展开式的通项为Tr+1=(x)5-r·(-y)r=()5-r·(-1)r·x5-ryr,取r=3,得T4=()2×(-1)3·x2y3=-20x2y3.故选A. 4.D　[解析] (2-x)6的展开式的通项为Tr+1=·26-r·(-x)r=·(-1)r·26-r·xr ,∴T3=×(-1)2×24·x2=240x2,T4=×(-1)3×23·x3=-160x3,T5=×(-1)4×22·x4=60x4,∴第3,4,5项之和是60x4-160x3+240x2,故选D. 5.A　[解析] 由二项式定理得x3=[(x-2)+2]3=·(x-2)023+·(x-2)122+·(x-2)221+·(x-2)320,又x3=a0+a1·(x-2)+a2·(x-2)2+a3·(x-2)3,所以a2=×21=3×2=6.故选A. 6.C　[解析] ∵(x2-x-2)5=(x-2)5(x+1)5,∴在(x2-x-2)5的展开式中x的系数为×(-2)4+×(-2)5=-80,故选C. 7.AD　[解析] 二项式(n∈N*)的展开式的通项为Tr+1=(x3)r=x4r-n.令n=4,则当r=1时,展开式中有常数项,故A正确,B错误;令n=3,则当r=1时,展开式中有x的一次项,故C错误,D正确.故选AD. 8.BD　[解析] 二项式的展开式的通项为Tr+1=(-1)rxk-rx-2 ... ...