8．6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质 【课标要求】 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.会应用性质定理判断两条直线的平行.3.了解空间中距离的概念，会求空间中的距离． 【导学】 学习目标一 直线与平面垂直的性质定理 师问：(1)马路旁的路灯灯柱，若将灯柱看作一条直线，地面看作平面，灯柱所在直线与地面所在平面有何位置关系？灯柱所在的直线间是什么位置关系？ (2)在空间中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何？ 生答： 例1 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN. 总结：线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据．证明两直线平行还有以下方法：(1)利用线线平行定义；(2)利用基本事实4；(3)利用线面平行的性质定理；(4)利用面面平行的性质定理． 跟踪训练1 如图所示，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB，求证：a∥l. 学习目标二 空间中的距离问题 师问：空间中，常会有几种距离问题？ 生答： 例2 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA＝2，点E，F分别为PB，PD的中点． (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求点P到平面AEF的距离． 总结：空间中的三种距离：点到平面的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离，常常转化为点到平面的距离，然后利用直线与平面垂直的判定或性质作出垂线段，求出垂线段的长，或利用“等体积法”求解． 跟踪训练2 若正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面边长为1，直线AC1与底面ABCD所成角的大小是60°，则A1C1到底面ABCD的距离为_____． 【导练】 1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 2．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有( ) A．BB1⊥l B．BB1∥l C．BB1与l异面 D．BB1与l相交 3．如图，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形有( ) A.1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，已知AP⊥BP，AP⊥PC，∠ABP＝∠ACP＝∠BAC＝60°，PA＝1，D是BC中点，则点B到平面APD的距离是_____． 【导思】 在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝BC＝1，AD＝2，PB与平面ABCD所成角为π4，底面ABCD为直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝π2，则点A到平面PBC的距离为( ) A．2 B．2 C．22 D．12 第2课时 直线与平面垂直的性质 导 学 学习目标一 生答：(1)垂直，灯柱所在的直线都是平行的． (2)平行． 例1 证明：∵AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴AE⊥AB， 又AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD. 又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD， ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD， ∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN. 跟踪训练1 证明：∵平面α∩平面β＝l，∴l?α. 又∵EA⊥α，∴l⊥EA，同理l⊥EB. 又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB. ∵EB⊥β，a?β，∴EB⊥a. 又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l. 学习目标二 生答：点面距、线面距、面面距． 例2 解析：(1)证明：由底面ABCD为正方形，得CB⊥AB，又CB⊥BP，AB∩BP＝B，AB，BP?平面ABP， 于是CB⊥平面ABP，而PA?平面ABP，则CB⊥PA，同理CD⊥PA， 又CB∩CD＝C，CB，CD?平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD. (2)由(1)得PA⊥AB，点E为PB的中点，在Rt△PAB中，AE＝2，点F为PD的中点，同理AF＝2， 在△PBD中，EF＝12BD＝2，因此S△AEF＝12×2×2×32＝32， 在Rt△PAB中，S△APE＝12×12×2×2＝1， 由(1)知CB⊥平面ABP，则AD⊥平面ABP，于是点F到平面APE的距离为12AD＝1. 设 ... ...
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