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课件网) 8.2 函数与数学模型 8.2.1 几个函数模型的比较 探究点一 计算并比较指数的值 探究点二 增长速度的比较 探究点三 函数模型增长比较的实际应用 ◆ ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 备课素材 练习册 答案核查【导】 答案核查【练】 【学习目标】 结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、 一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升” “指数爆炸”等术语的现实含义. 知识点一 指数变化 当时，指数函数随着 的增大而_____,且增大的速度越来 越____，呈“爆炸”的趋势，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容. 当时，指数函数随着 的增大而_____，并逐步趋 向于___. 增大 快 减小 0 知识点二 幂函数、指数函数、对数函数增长的比较 函数性质、 图象变化、 增长速度 函数 _____ _____ _____ 图象的变化 趋势 单调递增 单调递增 单调递增 轴 轴 函数性质、 图象变化、 增长速度 函数 增长速度 越来越快 越来越慢 续表 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）当足够大时，函数比 增长的速度更快些．( ) × （2）函数 的增长特点是直线上升，其增长速度不 变．( ) √ （3）对数函数 的增长特点是随自变量的增大，函 数值增大的速度越来越慢．( ) √ 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （4）函数 的变化特点是随自变量的增大,函数值增大的 速度越来越快.( ) × [解析] 当时， 随自变量的增大,函数值减小. 2.（1）如何描述指数函数和幂函数 在 区间 上的函数值的变化关系 解：在区间上,指数函数 与幂函数 都单调递增， 但无论比 大多少,尽管在一定变化范围内可能,但由于当 足够大时的增长速度大于 的增长速度,因此总存在一个,使得 当时, 恒成立. （2）如何描述对数函数和幂函数 在 区间 上的函数值的变化关系 解：在区间上,对数函数 与幂函数 都单调递增， 尽管在一定变化范围内可能 ，但由于当足够大时的 增长速度小于 的增长速度，因此总存在一个,使得当时, 恒成立. （3）如何描述函数,, 在区间 上的函数值的变化关系 解：在区间上,函数, , 都单调递增,但它们的增长速度变化不同. 的增长速度越来越快,当 充分大时会超过并远远大于 的增长速度,而 的增长速度会越来越 慢,故总存在一个,使得当时, 恒成立. 探究点一 计算并比较指数的值 例1 四个变量，，，随变量 变化的数据如下表： 1 5 10 15 20 25 30 2 26 101 226 401 626 901 2 32 1024 32 768 2 10 20 30 40 50 60 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于 呈指数函数变化的变量最可能是___. [解析] 以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的. 从题中表格中的数据可以看出，四个变量，，， 均是从2开 始变化的，变量，，，都是越来越大的，但是增长速度不同， 其中变量 的增长速度最快，可知变量最可能关于 呈指数函数变化. 变式 （多选题）三个变量,,随变量 变化的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 30 5 130 505 1130 2005 3130 4505 5 90 1620 29 160 524 880 9 447 840 170 061 120 5 30 55 80 105 130 155 则下列说法合理的是( ) A.关于呈对数增长 B.关于 呈指数爆炸 C.关于呈直线上升 D. 的增长速度最快 √ √ √ [解析] 随 的增大而增大，增加量依次是125，375，625，875， 1125，1375，故增加得越来越快，不呈对数增长，故A错误； 随 的增大而增大，增加量依次是25，25，25， ，增加速度固定， 故呈一次函数变化，即关于呈直线上升，故C正确； 随 的增大而增大，增加量依次是85，1530，，， ， 故增加得越来越快，呈指数爆炸，增长速度最快，故B，D正确. 故选 . ［素养小结］ 指数函数增长的特点： 指数函数
是增函数，随着
